ԳՄԴ  531+539.1                            Տպագրված է համաձայն 2010թ.

հրատարակչական պլանի

 (հաստատված 30.01.2010թ. ԳԽ նիստում)

 Ուսումնական ձեռնարկ.Եր.: Ճարտարագետ, 2010.- 317 էջ:

Ուսումնական ձեռնարկը բաղկացած է տասներկու գլուխներից, որոնցում շարադրված են մեխանիկայի ֆիզիկական հիմունքները, մեխանիկական տատանումներին և ալիքներին, մոլեկուլային ֆիզիկային և ջերմադինամիկային, իրական գազերին, հեղուկներին և պինդ մարմիններին վերաբերող հարցերը, որոնք անհրաժեշտ են տեսական ֆիզիկայի և այլ ֆիզիկային վերաբերող առարկաների ուսումնասիրման համար:

Ձեռնարկի հիմնական նպատակն առաջին հերթին ուսանողներին ֆիզիկայի հիմնական գաղափարներին և մեթոդներին ծանոթացնելն է: Հատուկ ուշադրություն է դարձվել ֆիզիկական օրենքների իմաստի բացատրմանը և դրանց կիրառմանը:

Ձեռնարկը նախատեսված է ՀՊՃՀ-ի բոլոր ֆակուլտետների առաջին կուրսերի ուսանողների համար: Այն կարող է օգտակար լինել նաև հեռակա բաժնի ուսանողներին:

Ուսումնական ձեռնարկը գրված է ընդհանուր ֆիզիկայի դասընթացի գործող ծրագրին համապատասխան` տեխնիկական և բնագիտական մասնագիտությունների ուսանողների համար:

Գրախոսներ՝

  ֆիզ.մաթ. գիտ. դոկտոր, պրոֆեսոր       

Տեխ. գիտ. դոկտոր, պրոֆեսոր

ԲՈՎԱՆԴԱԿՈՒԹՅՈՒՆ

Ներածություն

Ֆիզիկայի առարկան և նրա կապը այլ գիտությունների հետ

           ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՖԻԶԻԿԱԿԱՆ ՀԻՄՈՒՆՔՆԵՐԸ

ԳԼՈՒԽ 1. ԿԻՆԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐԸ

1.1 Հաշվարկման համակարգ: Հետագիծ, ճանապարհ, տեղափոխության վեկտոր

1.2 Արագություն և արագացում

1.3 Արագացման տանգենցիալ և նորմալ բաղադրիչներ

1.4 Արագության և արագացման պրոյեկցիաները կոորդի նատային առանցքների վրա

1.5 Անկյունային արագություն և անկյունային արագացում

ԳԼՈՒԽ 2. ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ԿԵՏԻ ԵՎ ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ԿԵՏԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԴԻՆԱՄԻԿԱ

2.1 Փոխազդեցություն և իներտություն: Հիմնարար փոխազդեցության տեսակները

2.2 Նյուտոնի օրենքները

2.3 Շփման ուժեր

2.4 Պինդ մարմնի դեֆորմացիան

2.5 Մեխանիկական համակարգի զանգվածների (իներցիայի) կենտրոն և նրա շարժման հավասարումը

2.6 Իմպուլսի պահպանման օրենքը

2.7 Փոփոխական զանգվածով մարմնի շարժման հավասարումը

ԳԼՈՒԽ 3. ԱՇԽԱՏԱՆՔ ԵՎ ԷՆԵՐԳԻԱ

3.1 Էներգիա, աշխատանք, հզորություն

3.2 Կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաներ

3.3 Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը

3.4 Մարմինների բացարձակ առաձգական և բացարձակ ոչ առաձգական հարված

ԳԼՈՒԽ 4. ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ ՊՏՏԱԿԱՆ ՇԱՐԺՄԱՆ ԴԻՆԱՄԻԿԱ

4.1 Ուժի մոմենտը կետի և առանցքի նկատմամբ: Նյութական կետի իմպուլսի մոմենտը կետի և առանցքի նկատմամբ

4.2 Պտտական շարժման դինամիկայի հավասարումը

4.3 Մարմնի իներցիայի մոմենտն անշարժ առանցքի նկատ մամբ

4.4 Շտայների թեորեմը

4.5 Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը

4.6 Պինդ մարմնի պտտական շարժման կինետիկ էներգիան

ԳԼՈՒԽ 5. ՁԳՈՂՈՒԹՅՈՒՆ: ԴԱՇՏԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

5.1 Կեպլերի օրենքները: Տիեզերական ձգողության օրենքը

5.2 Ծանրության ուժ և կշիռ: Անկշռություն

5.3 Ձգողական դաշտ և նրա լարվածությունը

5.4 Աշխատանքը ձգողության դաշտում: Ձգողության դաշտի պոտենցիալը

5.5 Տիեզերական արագություններ

ԳԼՈՒԽ 6. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐԸ

6.1 Հեղուկի և գազի ճնշումը

6.2 Անխզելիության հավասարումը

6.3 Բեռնուլիի հավասարումը

6.4 Մածուցիկ հեղուկի շարժումը: Հեղուկների հոսքի լամինար և տուրբուլենտ ռեժիմներ

6.5 Մածուցիկության որոշման մեթոդները

6.6 Մարմինների շարժումը հեղուկներում և գազերում

ԳԼՈՒԽ 7. ՀԱՐԱԲԵՐԱԿԱՆՈՒԹՅԱՆ ՀԱՏՈՒԿ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

7.1 Գալիլեյի ձևափոխությունները

7.2 Հարաբերականության հատուկ տեսության կանխադրույթները

7.3 Լորենցի ձևափոխությունները

7.4 Հետևություններ Լորենցի ձևափոխություններից

1. Երկարության ռելյատիվիստական կրճատումը

2. Ժամանակի ընթացքի ռելյատիվիստական դանդաղումը

3. Ժամացույցների կամ երկվորյակների պարադոքսը

7.5 Միջակայք (ինտերվալ) և նրա ինվարիանտությունը

7.6 Արագությունների գումարման ռելյատիվիստական օրենքը

7.7 Ռելյատիվիստական դինամիկայի տարրերը: Ռելյատիվիստական իմպուլսը և զանգվածը

7.8 Ռելյատիվիստական էներգիա: Էներգիայի և զանգվածի կապը

7.9 էներգիայի կապը իմպուլսի հետ

ԳԼՈՒԽ 8. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՏԱՏԱՆՈՒՄՆԵՐ

8.1. Ներդաշնակ տատանումներ և դրանց բնութագրիչները

8.2. Ներդաշնակ մեխանիկական տատանումներ

8.3. Ներդաշնակ տատանակ: Զսպանակավոր, ֆիզիկական և մաթեմատիկական ճոճանակներ

8.4.Միևնույն ուղղությունը և միատեսակ հաճախություններ ունեցող տատանումների գումարումը: Զարկեր

8.5. Փոխուղղահայաց տատանումների գումարումը

8.6 Մեխանիկական մարող տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը և նրա լուծումը: Ինքնատատանումներ

8.7 Մեխանիկական հարկադրական տատանումների դիֆերենցիալ հավասարումը և նրա լուծումը

8.8 Մեխանիկական հարկադրական տատանումների լայնույթը և փուլը: Ռեզոնանս

ԳԼՈՒԽ 9. ԱՌԱՁԳԱԿԱՆ ԱԼԻՔՆԵՐ

9.1 Ալիքային պրոցեսներ: Երկայնական և լայնական ալիքներ

9.2 Վազող ալիքի հավասարումը: Փուլային արագություն: Ալիքային հավասարում

9.3. Առաձգական ալիքի էներգիան

9.4. Ալիքների ինտերֆերենցիան

9.5 Կանգուն ալիքներ

9.6 Ձայնային ալիքներ

9.7. Դոպլերի էֆեկտը ակուստիկայում

9.8. Ուլտրաձայն և նրա կիրառությունը

ՆԵՐԱԾՈՒԹՅՈՒՆ

ՖԻԶԻԿԱՅԻ ԱՌԱՐԿԱՆ ԵՎ ՆՐԱ ԿԱՊԸ ԱՅԼ ԳԻՏՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՀԵՏ

Ֆիզիկան բնական այլ գիտությունների հետ միասին ուսումնասիրում է մեզ շրջապատող նյութական աշխարհի օբյեկտիվ հատկությունները:

Ֆիզիկան ուսումնասիրում է մատերիայի շարժման ամենաընդհանուր ձևերը (մեխանիկական, ջերմային, էլեկտրամագնիսական և այլն) և դրանց փոխադարձ փոխարկումները: Ֆիզիկայի ուսումնասիրած շարժման ձևերը առկա են շարժման բոլոր բարձր և ավելի բարդ ձևերում (քիմիական, կենսաբանական և այլ պրոցեսներում) և անբաժան են նրանցից, թեև ամենևին էլ չեն սպառում դրանք: Այսպես, ֆիզիկայի հայտնաբերած տիեզերական ձգողության օրենքին ենթարկվում են հայտնի բոլոր մարմինները` երկրային և երկնային, անկախ այն բանից` դրանք քիմիապես պարզ նյութեր են, թե` բարդ, կենդանի, թե` մեռած: Ֆիզիկայի սահմանած էներգիայի պահպանման օրենքին ենթարկվում են բոլոր պրոցեսները, անկախ այն բանից, կրու՞մ են դրանք առանձնահատուկ քիմիական, կենսաբանական և այլ բնույթ, թե՞ ոչ: Ֆիզիկան բնագիտության հիմքն է:

Ֆիզիկայի և բնական մի շարք այլ գիտությունների միջև չի կարելի կտրուկ սահման դնել: Ֆիզիկայի և քիմիայի միջև գոյություն ունեն սահմանամերձ ընդարձակ շրջաններ, նույնիսկ առաջ են եկել հատուկ գիտություններ` ֆիզիկական քիմիա և քիմիական ֆիզիկա: Գիտելիքների բնագավառներ, որտեղ ֆիզիկայի մեթոդները կիրառվում են ավելի կամ պակաս չափով մասնակի հարցերը ուսումնասիրելու համար, նույնպես միանում, կազմում են հատուկ գիտություններ. այդպես է առաջ եկել, օրինակ, աստղաֆիզիկան, որն ուսումնասիրում է երկնային օբյեկտներում ընթացող ֆիզիկական երեվույթները, և երկրաֆիզիկան, որն ուսումնասիրում է Երկրի մթնոլորտում և երկրագնդի կեղևի մեջ ընթացող ֆիզիկական երևույթները: Ֆիզիկայում հայտնագործությունները հաճախ խթան են հանդիսացել այլ գիտությունների զարգացմանը: Մանրադիտակի և հեռադիտակի գյուտերն արագացրել են կենսաբանության և աստղագիտության զարգացումը: Ֆիզիկոսների հայտնաբերած սպեկտրային անալիզը դարձավ աստղաֆիզիկայի հիմնական մեթոդը և այլն:

Ֆիզիկայի, ինչպես և այլ գիտությունների զարգացմանը խթան են հանդիսացել մադկանց գործնական պահանջները: Հին եգիպտացիների և հույների մեխանիկան առաջ է եկել անմիջականորեն այն պահանջների կապակցությամբ, որ առաջադրում էր այն ժամանակվա կառուցողական և ռազմական տեխնիկան: Նմանապես զարգացող տեխնիկայի և ռազմական գործի ազդեցության տակ գիտական մեծ հայտնագործություններ կատարվեցին 17-րդ դարի և 18-րդ դարի սկզբին:

Ռուս գիտնական Մ. Լոմոնոսովն իր գիտական աշխատանքը զուգակցում էր գործնականի պահանջներին: Նրա բազմաթիվ և բազմազան հետազոտությունները պինդ և հեղուկ մարմինների բնույթի, օպտիկայի, օդերևութաբանության, մթնոլորտային էլեկտրականության ուղղությամբ կապված էին այս կամ այն գործնական հարցերի հետ:

19-րդ դարի սկզբին շոգեմեքենայի կիրառությունը անհրաժեշտ դարձրեց ամենաշահավետ կերպով ջերմաքանակը մեխանիկական աշխատանքի փոխարկելու հարցի լուծումը:

1831 թվականին Ֆարադեյի կողմից էլեկտրամագնիսական մակածման երևույթի հայտնագործումը հնարավոր դարձրեց էլեկտրական երևույթների գործնական լայն կիրառությունը:

1869 թվականին Դ. Մենդելեևի կողմից հայտնաբերված պարբերական օրենքը ոչ միայն բացառիկ դեր խաղաց ատոմների ու քիմիական երևույթների մասին ուսմունքի զարգացման, այլև քիմիայի ու ֆիզիկայի բազմաթիվ գործնական խնդիրների լուծման մեջ:

Ժամանակակից գիտատեխնիկական առաջընթացը օրգանապես կապված է ֆիզիկայի հետ: Ռադիոտեխնիկայում, միջուկային էներգետիկայում, հրթիռային և կիսահաղորդչային տեխնիկայում, ավտոմատիկայում և հեռուստամեխանիկայում, հաշվողական և ստուգիչ-չափողական և տեխնիկայի այլ բնագավառներում լայն կիրառություն ունեն ֆիզիկայի նվաճումները:

Ֆիզիկայի բուռն թափով զարգացումը, նրա աճող կապը տեխնիկայի հետ, ցույց է տալիս ընդհանուր ֆիզիկայի նշանակալից աճող դերը բարձրագույն տեխնիկական ուսումնական հաստատությունում` որպես հիմնարար բազա, ճարտարագետի տեսական պատրաստվածության համար, առանց որի նրա հաջող գործնեությունը անհնարին է:

>>

1.1. ՀԱՇՎԱՐԿՄԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ: ՀԵՏԱԳԻԾ, ՃԱՆԱՊԱՐՀԻ ԵՐԿԱՐՈՒԹՅՈՒՆ,
ՏԵՂԱՓՈԽՈՒԹՅԱՆ ՎԵԿՏՈՐ

Մեխանիկան ֆիզիկայի այն բաժինն է, որն ուսումնասիրում է մեխանիկական շարժումների օրինաչափությունները և այդ շարժումներն առաջացնող կամ փոփոխող պատճառները: Մեխանիկական շարժում է կոչվում ժամանակի ընթացքում տարածության մեջ մարմնի դիրքի փոփոխությունն այլ մարմինների նկատմամբ կամ մարմնի մասերի դիրքերի փոփոխությունը իրար նկատմամբ:

Որպես գիտություն, մեխանիկայի զարգացումն սկսվում է 3-րդ դարից, երբ հույն գիտնական Արքիմեդը (287-212 մինչև մ. թ.) ձևակերպեց լծակի հավասարակշռության օրենքը և լողացող մարմինների հավասարակշռության պայմանները: Մեխանիկայի հիմնական օրենքները սահմանվել են իտալացի ֆիզիկոս և աստղագետ Գ. Գալիլեյի (1564-1642) և վերջնական ձևակերպումն են ստացել անգլիացի գիտնական Ի. Նյուտոնի (1643-1727) կողմից:

Գալիլեյ-Նյուտոնի մեխանիկան կոչվում է դասական մեխանիկա: Դասական մեխանիկան ձևավորվել է միայն սահմանափակ տիպի շարժումների դիտումների հիման վրա, ինչպիսիք են` մարդու մարմնի չափերի հետ համեմատելի (նետված քարը) կամ նրա համեմատությամբ շատ խոշոր (մոլորակների շարժումը) և ոչ շատ մեծ արագություններով օժտված մարմինների շարժումը: Այստեղից էլ բխում է դասական մեխանիկայի մոտավոր բնույթը: Գիտության հետագա զարգացումը ցույց տվեց, որ դասական մեխանիկան իրականության հիանալի մոտավորությունն է, քանի դեռ մենք գործ ունենք մեծ թվով ատոմներից բաղկացած (մակրոսկոպիկ) մարմինների շարժման հետ, մարմիններ, որոնց արագությունները, համեմատած լույսի c արագության հետ, փոքր են: Լույսի արագության հետ համեմատելի արագությամբ շարժվող մարմինների շարժման օրենքները ուսումնասիրվում են ռելյատիվիստական մեխանիկայում` հիմնված հարաբերականության հատուկ տեսության վրա, որը սահմանել է Ա. Այնշտայնը (1879-1955): Միկրոսկոպիկ մարմինների (առանձին ատոմներ և տարրական մասնիկներ) շարժումը նկարագրելու համար դասական մեխանիկայի օրենքները կիրառելի չեն` դրանք փոխարինվում են քվանտային մեխանիկայի օրենքներով:

Ռելյատիվիստական մեխանիկայի հավասարումներից սահմանում (v<<c) անցում է կատարվում դասական մեխանիկայի բանաձևերին, քվանտային մեխանիկայի հավասարումները սահմանում (զանգվածների համար, որոնք շատ մեծ են ատոմների զանգվածների հետ համեմատած) նույնպես անցնում են դասական մեխանիկայի հավասարումներին: Սա ցույց է տալիս դասական մեխանիկայի կիրառելիության սահմանափակումը` մարմինների մեծ զանգվածների մեխանիկայի (համեմատած ատոմների զանգվածների հետ), որոնք շարժվում են փոքր արագություններով (համեմատած լույսի արագության հետ):

Մեխանիկան բաժանվում է երեք բաժինների` կինեմատիկայի, դինամիկայի և ստատիկայի: Կինեմատիկան ուսումնասիրում է մարմինների շարժումները, առանց քննարկելու այդ շարժումները պայմանավորող պատճառները: Դինամիկան ուսումնասիրում է մարմինների շարժման օրենքները և պատճառները, որոնք առաջ են բերում կամ փոփոխում են այդ շարժումը: Ստատիկան ուսումնասիրում է մարմինների համակարգի հավասարակշռության օրենքները: Եթե հայտնի են մարմինների շարժման օրենքները, ապա դրանցից կարելի է ստանալ հավասարակշռության օրենքները: Դրա համար էլ ստատիկայի օրենքները դինամիկայի օրենքներից անկախ չեն քննարկվում:

Մեխանիկայում մարմինների շարժումների նկարագրման համար կախված խնդիրների կոնկրետ պայմաններից օգտագործում են տարբեր ֆիզիկական մոդելներ: Պարզագույն մոդել է նյութական կետը` այնպիսի մարմին, որի չափերը և ձևը տվյալ խնդրի մեջ կարելի է անտեսել: Նյութական կետ հասկացությունը վերացարկում (աբստրակցիա) է, բայց նրա ներմուծումը հեշտացնում է գործնական խնդիրների լուծումը: Օրինակ` ուսումնասիրելով մոլորակների շարժումը Արեգակի շուրջը ուղեծրերով` կարելի է դրանք ընդունել նյութական կետեր:

Կամայական մակրոսկոպիկ մարմինը կամ մարմինների համակարգը կարելի է մտովի բաժանել միմյանց հետ փոխազդող փոքր մասերի, որոնցից յուրաքանչյուրը դիտարկվում է որպես նյութական կետ: Ուստի կամայական մարմինների շարժման ուսումնասիրությունը բերվում է նյութական կետերի համակարգի ուսումնասիրությանը:

Մարմինները միմյանց փոխազդեցության հետևանքով կարող են դեֆորմացվել, այսինքն` փոխել իրենց ձևն ու չափերը: Դրա համար էլ մեխանիկայում մտցվում է նորից մի մոդել` բացարձակ պինդ մարմնի մոդելը: Բացարձակ պինդ մարմին է կոչվում այն մարմինը, որը ոչ մի պայմանի դեպքում չի կարող դեֆորմացվել, այսինքն` փոփոխել իր ձևն ու չափերը, և բոլոր պայմանների դեպքում այդ մարմնի երկու կետերի միջև (կամ ավելի ճիշտ երկու մասնիկների միջև) հեռավորությունը մնում է հաստատուն:

Պինդ մարմնի ցանկացած շարժում կարելի է ներկայացնել որպես երկու` համընթաց և պտտական շարժումների համակցում:

Համընթաց կոչվում է այն շարժումը, որի ժամանակ ցանկացած երկու կետեր միացնող ուղիղը շարժման ընթացքում մնում է ինքն իրեն զուգահեռ: Պտտական կոչվում է մարմնի այն շարժումը, որի ժամանակ նրա բոլոր կետերը շարժվում են շրջանագծերով, որոնց կենտրոնները գտնվում են մեկ ուղղի` պտտման առանցքի վրա:

Մարմինների շարժումը կատարվում է տարածության և ժամանակի մեջ: Ուստի նյութական կետի շարժման նկարագրման համար պետք է իմանալ, տարածության որ մասերում և ժամանակի ինչ պահերին այդ կետը գտնվել է այս կամ այն դիրքում: Ուստի, որպեսզի հնարավոր լինի բնութագրել որևէ մարմնի շարժումը, ամենից առաջ անհրաժեշտ է պայմանավորվել, թե ինչ այլ մարմնի նկատմամբ պետք է հաշվել տվյալ մարմնի տեղափոխությունը: Այդ մարմինը կոչվում է հաշվարկման մարմին, որի հետ կապում են կոորդինատային հաշվարկման որևէ համակարգ և ժամանակը չափող սարք, օրինակ, կոորդինատների ուղղանկյուն համակարգ և ժամացույց:

Ավելի հաճախ օգտագործվող դեկարտյան համակարգում A կետի դիրքը ժամանակի տվյալ պահին նշված համակարգի նկատմամբ որոշվում է երեք կոորդինատներով` x, y և z կամ  շառավիղ-վեկտորով, որը տարվում է կոորդինատների հաշվարկման սկզբից մինչև տվյալ կետը (նկ.1.1):

Նյութական կետի շարժման ժամանակ նրա կոորդինատները ժամանակի ընթացքում փոփոխվում են: Ընդհանուր դեպքում նրա շարժումը որոշվում է երեք սկալյար հավասարումներով`

որը համարժեք է հետևյալ վեկտորական հավասարմանը`

 (1.1) և (1.2) հավասարումները կոչվում են նյութական կետի շարժման կինեմատիկական հավասարումներ:

Այն անկախ մեծությունների թիվը, որոնք լրիվ որոշում են կետի դիրքը տարածության մեջ, կոչվում է ազատության աստիճանների թիվ: Եթե նյութական կետը ազատ շարժվում է տարածության մեջ, ապա այն օժտված է երեք ազատության աստիճաններով (x, y և z), եթե այն շարժվում է ինչ-որ մակերևույթով` երկու ազատության աստիճաններով, եթե ինչ-որ գծի երկայնքով` մեկ ազատության աստիճանով:

Արտաքսելով (1.1) և (1.2) հավասարումներից t ժամանակը` կստանանք նյութական կետի շարժման հետագծի հավասարումը: Հետագիծ կոչվում է այն կետերի երկրաչափական տեղը, որոնցով տվյալ հաշվարկման համակարգում հաջորդաբար անցնում է նյութական կետը շարժման ժամանակ: Կախված հետագծի ձևից` շարժումները կարող են լինել ուղղագիծ և կորագիծ:

Քննարկենք նյութական կետի շարժումը կամայական հետագծի երկայնքով (նկ.1.2): Ժամանակի հաշվարկման սկիզբ ընդունում ենք այն պահը, երբ կետը գտնվել է A դիրքում: Հետագծի AB տեղամասի երկարությունը, որն անցնում է նյութական կետը ժամանակի հաշվարկման սկզբնական պահից, կոչվում է ճանապարհի երկարություն, և այն ժամանակից կախված սկալյար ֆունկցիա է.  Շարժվող նյութական կետի սկզբնական դիրքից ժամանակի տվյալ պահին նրա ունեցած դիրքին տարված` վեկտորը (կետի շառավիղ վեկտորի աճը դիտարկվող ժամանակի ընթացքում) կոչվում է տեղափոխություն:

Ուղղագիծ շարժման դեպքում տեղափոխության վեկտորը համընկնում է հետագծի համապատասխան տեղամասի հետ, և տեղափոխության մոդուլը հավասար է  անցած ճանապարհին:

>>

1.2. ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆ ԵՎ ԱՐԱԳԱՑՈՒՄ

Նյութական կետի շարժման բնութագրման համար օգտագործվում է վեկտորական մի մեծություն` արագությունը, որով որոշվում է ինչպես շարժման թափը, այնպես էլ նրա ուղղությունը ժամանակի տվյալ պահին:

Դիցուք նյութական կետը շարժվում է ինչ-որ կորագիծ հետագծով, այնպես, որ ժամանակի t պահին նրան համապատասխանում է  շառավիղ-վեկտորը (նկ.1.3):

Փոքր  ժամանակամիջոցի ընթացքում կետն անցնում է  ճանապարհ և ստանում տարրական  (անվերջ փոքր)  տեղափոխություն:

Միջին արագության վեկտոր է կոչվում շառավիղ-վեկտորի  աճի և  ժամանակամիջոցի հարաբերությունը.

Միջին արագության վեկտորի ուղղությունը համընկնում է  ուղղության հետ:  անսահման փոքրացնելու դեպքում միջին արագությունը ձգտում է սահմանային արժեքին, որն անվանում են  ակնթարթային արագություն.

Այսպիսով, ակնթարթային արագությունը վեկտորական մեծություն է և որոշվում է շարժվող կետիշառավիղ-վեկտորի առաջին կարգի ածանցյալով ըստ ժամանակի: Քանի որ հատողը սահմանում համընկնում է շոշափողի հետ, ապա  արագության վեկտորն ուղղված է հետագծի շոշափողով դեպի շարժման կողմը (նկ.1.3):  փոքրացումով  ճանապարհի երկարությունը ավելի է մոտենում  ուստի ակնթարթային արագության մոդուլը`

Այսպիսով, ակնթարթային արագության մոդուլը հավասար է ճանապարհի առաջին կարգի ածանցյալին ըստ ժամանակի.

Անհավասարաչափ շարժման դեպքում ակնթարթային արագության մոդուլը ժամանակի ընթացքում փոփոխվում է: Տվյալ դեպքում օգտագործում են < v > սկալյար մեծությունը` անհավասարաչափ շարժման միջին արագությունը`

Նկ.1.3-ից հետևում է, որ < v >-ը մեծ է  քանի որ  և միայն ուղղագիծ շարժման դեպքում`

Եթե ds=vdt արտահայտությունը ինտեգրվի ըստ ժամանակի t-ից մինչև  սահմաններում, կարելի է գտնել  ժամանակում կետի անցած ճանապարհը.

Հավասարաչափ շարժման դեպքում ակնթարթային արագության թվային արժեքը հաստատուն է, ուստի (1.5) արտահայտությունը կընդունի հետևյալ տեսքը`

Կետի անցած ճանապարհը  ժամանակամիջոցի ընթացքում որոշվում է հետևյալ ինտեգրալով

Անհավասարաչափ շարժման դեպքում կարևոր է իմանալ, թե որքան արագ է փոփոխվում արագությունը ժամանակի ընթացքում: Այն ֆիզիկական մեծությունը, որը բնութագրում է արագության փոփոխությունը ըստ մոդուլի և ուղղության, կոչվում է արագացում:

>>

1.3. ԱՐԱԳԱՑՄԱՆ ՏԱՆԳԵՆՑԻԱԼ ԵՎ ՆՈՐՄԱԼ ԲԱՂԱԴՐԻՉՆԵՐ

Քննարկենք հարթ շարժումը, այսինքն այն շարժումը, որի դեպքում հետագծի բոլոր տեղամասերում կետերը ընկած են մեկ հարթության մեջ: Դիցուք  վեկտորը տալիս է կետի արագությունը ժամանակի t պահին A դիրքում:  ժամանակում կետն անցել է B դիրքը և ձեռք է բերել  տարբեր` ինչպես ըստ մոդուլի, այնպես էլ ուղղությամբ  հավասար արագություն: Տեղափոխենք  վեկտորը A կետը և գտնենք  (նկ.1.4):

Անհավասարաչափ շարժման միջին արագացում t-ից մինչև  միջակայքում կոչվում է այն վեկտորական մեծությունը, որը հավասար է արագության  փոփոխության և  ժամանակի միջակայքի հարաբերությանը.

Նյութական կետի ակնթարթային արագացումը ժամանակի t պահին հավասար է միջին արագացման սահմանին`

Այսպիսով, արագացումը վեկտորական մեծություն է և հավասար է արագության առաջին կարգի ածանցյալին ըստ ժամանակի:

վեկտորը վերածենք երկու բաղադրիչների: Դրա համար A կետից (տես նկ.1.4)  արագության ուղղությամբ տեղադրենք վեկտորը, որը մոդուլով հավասար է  Ակներև է, որ վեկտորը հավասար է  և որոշում է ժամանակամիջոցում արագության փոփոխությունը ըստ մոդուլի:  վեկտորի երկրորդ  բաղադրիչը բնութագրում է արագության փոփոխությունը ըստ ուղղության ժամանակամիջոցում:

Արագացման տանգենցիալ բաղադրիչը`

այսինքն հավասար է արագության մոդուլի ածանցյալին ըստ ժամանակի: Այն բնութագրում է արագության փոփոխությունը ըստ մոդուլի:

Գտնենք արագացման երկրորդ բաղադրիչը: Ենթադրենք` B կետը բավականին մոտ է A կետին, ուստի  կարելի է ընդունել ինչ-որ r շառավղով շրջանագծի աղեղ, որը քիչ է տարբերվում AB լարից: AOB և EAD եռանկյունների նմանությունից հետևում է`

Սահմանում, երբ  կստանանք`  Քանի որ  EAD անկյունը ձգտում է զրոյի, հետևաբար EAD եռանկյունը հավասարակողմ է, ապա  միջև կազմած EAD անկյունը ձգտում է 90⁰ -ի: Հետևաբար, երբ  վեկտորները դառնում են իրար փոխուղղահայաց: Քանի որ արագության վեկտորն ուղղված է հետագծի շոշափողով, ապա  վեկտորն ուղղահայաց է արագության վեկտորին և ուղղված է կորության կենտրոն:

Արագացման

բաղադրիչը կոչվում է նորմալ արագացում կամ կենտրոնաձիգ արագացում:

Տանգենցիալ և նորմալ բաղադրիչների երկրաչափական գումարը տալիս է մարմնի լրիվ արագացումը (նկ.1.5):

Ամփոփելով կարող ենք ասել, որ կորագիծ անհավասարաչափ շարժման դեպքում լրիվ արագացումը բաժանվում է երկու բաղադրիչների  տանգենցիալ արագացման, որը բնորոշում է արագության փոփոխությունն ըստ մոդուլի, և նորմալ արագացման, որը բնորոշում է արագության փոփոխությունն ըստ ուղղության:

 բաղադրիչները միմյանց ուղղահայաց են: Կախված տանգենցիալ և նորմալ արագացումների բաղադրիչներից` շարժումը կարելի է դասակարգել հետևյալ ձևով.

1) եթե  ապա շարժումը ուղղագիծ հավասարաչափ է:

2) եթե  ապա շարժումը ուղղագիծ հավասարաչափ արագացող է: Այդպիսի շարժման դեպքում`

Եթե ժամանակի սկզբնական պահին t₁=0, իսկ սկզբնական արագությունը`  ապա ընդունելով  կստանանք`

Ինտեգրելով այս արտահայտությունը զրոյից մինչև ժամանակի կամայական t պահը` կստանանք կետի անցած ճանապարհը հավասար փոփոխական շարժման դեպքում.

3)  ապա փոփոխական արագացումով ուղղագիծ շարժում է:

4)  դեպքում արագությունը փոփոխվում է միայն ըստ ուղղության:  բանաձևից հետևում է, որ կորության շառավիղը պետք է լինի հաստատուն: Հետևաբար, շարժումը շրջանագծով հավասարաչափ է:

>>

1.4. ԱՐԱԳՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ԱՐԱԳԱՑՄԱն ՊՐՈՅԵԿՑԻԱՆԵՐԸ
 ԿՈՈՐԴԻՆԱՏԱՅԻՆ ԱՌԱՆՑՔՆԵՐԻ ՎՐԱ

Կետի դիրքը որոշող շառավիղ-վեկտորը դեկարտյան ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում կարելի է ներկայացնել կոորդինատային առանցքներով ուղղված երեք վեկտորների գումարի տեսքով.

 շառավիղ-վեկտորի պրոյեկցիաներն են համապատասխան կոորդինատային առանցքների վրա: Ածանցելով (1.6)-ը ըստ ժամանակի` կստանանք շարժվող կետի համար արագության արտահայտությունը.

(1.7)-ից հետևում է, որ արագության վեկտորի պրոյեկցիաները կոորդինատային առանցքների վրա հավասար են համապատասխան կոորդինատների ածանցյալներին

Կետի շարժման նկարագրման կոորդինատային եղանակի դեպքում տրվում են  ֆունկցիաները: Դրանք կարելի է դիտարկել որպես  պրոյեկցիաներ համապատասխան առանցքների վրա: Վեկտորի  ֆունկցիաների ածանցյալներն ըստ ժամանակի տալիս են արագության պրոյեկցիաները կոորդինատային առանցքների վրա: Ինչ վերաբերում է արագացմանը, դժվար չէ տեսնել, որ նրա պրոյեկցիաները կոորդինատային առանցքների վրա հավասար են արագության վեկտորի պրոյեկցիաների ածանցյալներին ըստ ժամանակի կամ շառավիղ-վեկտորի պրոյեկցիաների երկրորդ կարգի ածանցյալներին ըստ ժամանակի.

Կոորդինատային եղանակը հնարավորություն է տալիս որոշել արագության և արագացման մոդուլներն ու ուղղությունը` գտնելու շարժման հետագիծը: Արագության մոդուլը որոշվում է այսպես.

Արագության ուղղությունը կարելի է որոշել` տալով ուղղորդ կոսինուսները` այսինքն կոորդինատային առանցքների հետ վեկտորի կազմած անկյունների կոսինուսները:

համանմանորեն արտահայտվում է արագացման մոդուլը`

և արագացման ուղղորդ կոսինուսները

Եթե հարթ շարժումը տրված է կոորդինատային տեսքով, այսինքն` տրված են

ֆունկցիաները, ապա հետագծի հավասարումը կստանանք, եթե (1.10) հավասարումների համակարգից արտաքսենք t ժամանակը: Արդյունքում ստացվում է առնչություն, որը պարունակում է միայն x և y որն էլ հարթ կորի հավասարումն է:

>>

1.5. ԱՆԿՅՈՒՆԱՅԻՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆ ԵՎ ԱՆԿՅՈՒՆԱՅԻՆ ԱՐԱԳԱՑՈՒՄ

Դիտարկենք պինդ մարմին, որը պտտվում է աշարժ առանցքի շուրջը: Պինդ մարմնի առանձին կետերը գծում են տարբեր շառավիղներով շրջանագծեր, որոնց կենտրոնները ընկած են պտտման առանցքի վրա: Դիցուք որևէ կետ պտտվում է R շառավիղ ունեցող շրջանագծով (նկ.1.6): Նրա դիրքը  ժամանակամիջոցում տրվում է  անկյունով:

Տարրական (անվերջ փոքր) պտույտները կարելի է դիտարկել որպես վեկտորներ վեկտորի մոդուլը հավասար է պտույտի անկյանը, իսկ նրա ուղղությունը համընկնում է պտուտակի սայրի համընթաց շարժման հետ, որի գլխիկը պտտվում է շրջանագծով կետի շարժման ուղղությամբ, այսինքն ենթարկվում է աջ պտուտակի կանոնին (նկ.1.6): Այն վեկտորները, որոնց ուղղությունները կապված են պտտման ուղղության հետ, կոչվում են կեղծ կամ աքսիալ վեկտորներ: Այդ վեկտորները չունեն որոշակի կիրառման կետեր, դրանք կարող են տեղադրվել պտտման առանցքի ցանկացած կետից:

Անկյունային արագություն է կոչվում այն վեկտորական մեծությունը, որը հավասար է մարմնի պտույտի անկյան առաջին կարգի ածանցյալին ըստ ժամանակի.

վեկտորն, ինչպես և վեկտորն ուղղված է ըստ աջ պտուտակի կանոնի պտտման առանցքի երկայնքով, (նկ.1.7): Կետի գծային արագությունը (նկ.1. 7)`

 այսինքն`

Գծային արագության համար ստացված բանաձևը կարելի է գրել վեկտորական արտադրյալի տեսքով.

Այս դեպքում վեկտորական արտադրյալի մոդուլը, ըստ սահմանման, հավասար է  իսկ ուղղությունը համընկնում է աջ պտուտակի համընթաց շարժման ուղղության հետ,  նրա պտտման դեպքում:

Անկյունային արագության վեկտորի մոդուլը հավասար է  Հաստատուն անկյունային արագություն ունեցող պտույտը կոչվում է հավասարաչափ, ընդ որում`  Այսպիսով, հավասարաչափ պտույտի դեպքում  ցույց է տալիս, թե ինչ անկյունով է պտտվում մարմինը միավոր ժամանակի ընթացքում: Անկյունային արագության միավորը ՄՀ-ում ռադ/վ է:

Հավասարաչափ պտույտը կարելի է բնութագրել T պտտման պարբերությամբ, որը այն ժամանակն է, որի ընթացքում մարմինը կատարում է մեկ պտույտ, այսինքն` պտտվում է  անկյունով: Քանի որ  ժամանակամիջոցին համապատասխանում է  պտտման անկյունը, ապա

որտեղից

Պտույտների լրիվ թիվը, որը կատարում է շրջանագծով շարժվող մարմինը միավոր ժամանակամիջոցում, կոչվում է պտտման հաճախություն.

որտեղից

Մարմնի անհավասարաչափ պտույտը բնութագրելու համար ներմուծվում է անկյունային արագացման հասկացությունը: Անկյունային արագացում կոչվում է այն վեկտորական մեծությունը, որը հավասար է անկյունային արագության ածանցյալին ըստ ժամանակի.

Անշարժ առանցքի շուրջը մարմնի պտտման դեպքում անկյունային արագացման վեկտորն ուղղված է պտտման առանցքի երկայնքով անկյունային արագության վեկտորի տարրական աճի կողմը: Արագացող շարժման դեպքում  վեկտորը համագիծ է  վեկտորին (նկ.1.8 ա), իսկ դանդաղող շարժման դեպքում հակառակ է նրան (նկ.1.8 բ): Անկյունային արագացման միավորը ռադ/վ² է:

Արագացման տանգենցիալ բաղադրիչը`

Արագացման նորմալ բաղադրիչը`

Լրիվ արագացման համար ստանում ենք`

Այսպիսով, կապը գծային (s ճանապարհի երկարություն, որն անցնում է կետը R շառավղով շրջանագծի աղեղը, v գծային արագություն,  տանգենցիալ արագացում,  նորմալ արագացում) և անկյունային (պտույտի անկյուն,  անկյունային արագություն,  անկյունային արագացում) մեծությունների միջև արտահայտվում է հետևյալ բանաձևերով`

Կետի շրջանագծով հավասարաչափ արագացող շարժման դեպքում

որտեղ  սկզբնական անկյունային արագությունն է:

Խնդիր 1: A մասնիկի դիրքը բնութագրող շառավիղ-վեկտորը O անշարժ կետի նկատմամբ ըստ ժամանակի փոփոխվում է  օրենքով, որտեղ  հաստատուն վեկտորներ են, ընդ որում`  ուղղահայաց է  դրական հաստատուն է: Գտնել մասնիկի  արագացումը և հետագծի y(x) հավասարումը` ընդունելով, որ x և y առանցքները համըկնում են  վեկտորների ուղղության հետ:

Լուծում: Ածանցելով  ըստ ժամանակի երկու անգամ կստանանք`

այսինքն  միշտ ուղղված է դեպի O կետը, և նրա մոդուլը համեմատական է մասնիկից մինչև այդ կետը եղած հեռավորությանը: Գտնենք հետագծի հավասարումը: Պրոյեկտելով  առանցքների վրա կստանանք`

Արտաքսելով ստացված հավասարումներից  գտնում ենք`

Ստացված հավասարումը էլիպսի հավասարում է,  նրա կիսաառանցքներն են (նկ.1): Սլաքով ցույց է տրված A մասնիկի շարժման ուղղությունը:

Խնդիր 2: Կետը շարժվում է հարթ հետագծով այնպես, որ նրա տանգենցիալ արագացումը`  իսկ նորմալ արագացումը`  որտեղ  դրական հաստատուններ են, t-ն` ժամանակը: t=0 պահին կետը սկսում է շարժվել:

Գտնել կետի հետագծի կորության R շառավիղը և նրա w լրիվ արագացումը` կախված կետի անցած s ճանապարհից:

Լուծում: Կետի արագության տարրական աճը` dv=wdt: Ինտեգրելով այս հավասարումը կստանանք`

Անցած ճանապարհը`

Հետագծի կորության շառավիղը որոշվում է

բանաձևով: Քանի որ  (3)-ից կստանանք`

>>

ԳԼՈՒԽ 2. ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ԿԵՏԻ ԵՎ ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ԿԵՏԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԴԻՆԱՄԻԿԱ

2.1. ՓՈԽԱԶԴԵՑՈՒԹՅՈՒՆ ԵՎ ԻՆԵՐՏՈՒԹՅՈՒՆ: ՀԻՄՆԱՐԱՐ ՓՈԽԱԶԴԵՑՈՒԹՅԱՆ ՏԵՍԱԿՆԵՐԸ

Ուժը վեկտորական ֆիզիկական մեծություն է, որը տալիս է այլ մարմինների կողմից տվյալ մարմնի վրա մեխանիկական ազդեցության չափը: Այս ազդեցությունն ի հայտ է գալիս շարժվող մարմնի արագության կամ մարմնի ձևի և չափերի փոփոխության դեպքում: Ուժը, ինչպես և ցանկացած վեկտորական մեծություն, համարվում է տրված, եթե հայտնի են նրա թվային արժեքը, ուղղությունը և կիրառման կետը: Մարմնի հանգստի կամ ուղղագիծ հավասարաչափ շարժման վիճակը պահպանելու հատկությունը կոչվում է իներտություն: Մարմնի համընթաց շարժման դեպքում մարմնի իներտության չափը բնութագրվում է մի ֆիզիկական մեծությամբ, որը կոչվում է զանգված: Դասական մեխանիկայում (v<<c) մարմնի զանգվածը համարվում է հաստատուն և հավասար է հանգստի զանգվածին  Մարմնի զանգվածը ադիտիվ մեծություն է, այսինքն` այն հավասար է բոլոր մասնիկների (նյութական կետերի) զանգվածների գումարին, որոնցից կազմված է մարմինը:

Ժամանակակից ֆիզիկայում ապացուցված է, որ բնության մեջ գոյություն ունեցող բոլոր ուժերը չորս տեսակի փոխազդեցությունների առանձին դրսևորումներ են:

Առաջինը գրավիտացիոն փոխազդեցությունն է, որն իրականացվում է զանգված ունեցող ցանկացած մասնիկների միջև: Փոխազդեցության ուժը ձգողական է, այն հեռազդեցության բնույթ ունի, այսինքն` ազդում է նաև մեծ հեռավորությունների վրա: Այս փոխազդեցությամբ է պայմանավորված, օրինակ, Արեգակնային համակարգի գոյությունը: Տարրական մասնիկների գրավիտացիոն փոխազդեցության ուժը չնչին է դրանց փոքր զանգվածների պատճառով:

Երկրորդը էլեկտրամագնիսական փոխազդեցությունն է, որը նույնպես հեռազդեցության բնույթ ունի: Այս փոխազդեցությունը գործում է լիցքավորված մասնիկների միջև և, դրանց լիցքերի նշանից կախված, կարող է ունենալ ձգողական կամ վանողական բնույթ: Այս ուժերով է պայմանավորված, օրինակ, ատոմի գոյությունը: Լիցքավորված տարրական մասնիկների միջև գործող էլեկտրամագնիսական փոխազդեցության ուժերն անհամեմատ մեծ են նրանց միջև գործող գրավիտացիոն ուժերից: Օրինակ` երկու անշարժ պրոտոնների միջև գործող էլեկտրամագնիսական կուլոնյան ուժը մոտ  անգամ մեծ է դրանց միջև գործող գրավիտացիոն ուժից:

Փոխազդեցության մյուս տեսակն ուժեղ փոխազդեցությունն է: Փոխազդեցության այս տեսակն անվանում են նաև միջուկային, քանի որ հենց այս փոխազդեցությամբ է պայմանավորված միջուկի գոյությունը: Միջուկային փոխազդեցության ուժերը գործում են միջուկի չափերի կարգի`  հեռավորությունների վրա: Այդ հեռավորությունների վրա միջուկային ուժերը կուլոնյան ուժերից մոտ հարյուր անգամ մեծ են: Ավելի մեծ հեռավորությունների վրա միջուկային ուժերը շատ արագ ձգտում են զրոյի: Սա նշանակում է, որ դրանք կարճազդու են: Ուժեղ փոխազդեցությամբ փոխազդող տարրական մասնիկները կոչվում են հադրոններ (հունարեն «հադրոս»` մեծ, ուժեղ բառից), դրանցից են նաև նուկլոնները` պրոտոնը և նեյտրոնը:

Չորրորդ տիպի փոխազդեցությունը կոչվում է թույլ փոխազդեցություն: Այսպիսի ուժերը նույնպես կարճազդու են, գործում են և ավելի փոքր հեռավորությունների վրա: Այս փոխազդեցությամբ են պայմանավորված մի խումբ տարրական մասնիկների միջև տեղի ունեցող ռեակցիաները և փոխակերպումները: Դրանցից են լեպտոնները (հունարեն «լեպտոս»`բարակ, թեթև բառից): Լեպտոններ են` էլեկտրոնը, նեյտրինոյի տեսակները, մյուոնը և դրանց հակամասնիկները:

>>

2.2. ՆՅՈՒՏՈՆԻ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ

Մինչև այժմ դիտարկվել է միայն մարմինների տեղափոխությունը` կախված ժամանակից, առանց դրանց առաջացման պատճառների քննարկման, այսինքն՝ դիտարկվել է կինեմատիկայի խնդիրները: Իսկ այն հարցերը, որոնք կապված են մարմինների փոխազդեցությունների հետ և առաջացնում են շարժման վիճակի փոփոխություն, չեն շոշափվել: Այդ հարցերը վերաբերում են դինամիկայի բնագավառին: Դինամիկայի հիմնական դրույթները ձևակերպվել են Նյուտոնի կողմից իր «Բնական փիլիսոփայության մաթեմատիկական սկզբունքները» աշխատության մեջ (1687), որի առանցքը կազմում են երեք օրենքները: Նյուտոնի առաջին օրենքը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. յուրաքանչյուր մարմին պահպանում է իր հանգստի կամ հավասարաչափ և ուղղագիծ շարժման վիճակը, քանի դեռ այլ մարմինների կողմից ազդեցությունը չի ստիպել նրան փոխելու այդ վիճակը:

Նյուտոնի առաջին օրենքից բխում է, որ մարմինն իր հանգստի կամ հավասարաչափ ուղղագիծ շարժման վիճակը միայն այն դեպքում կարող է փոխել, երբ նրա վրա ազդում են այլ մարմիններ:

Նյուտոնի առաջին օրենքը հնարավոր չէ սովորական փորձով ստուգել, քանի որ մեզ շրջապատող իրական պայմաններում հնարավոր չէ մարմիններն այնպիսի պայմաններում դնել, որ նրանց վրա բոլորովին չազդեն այլ մարմիններ: Սակայն Նյուտոնի առաջին օրենքի իրավացի լինելու մեջ համոզվում ենք մի շարք փաստերի ընդհանրացման միջոցով: Սովորաբար մեզ շրջապատող առարկաների հանգստի վիճակը պայմանավորված է նրանով, որ տարբեր մարմինների ազդեցությունները համակշռում են միմյանց, ինչպես օրինակ, դադարի վիճակում գտնվող մարմինների դեպքում՝ Երկրի կողմից ձգողականությունը և հենարանի կամ կախոցի հակազդեցությունը: Շարժման դեպքում մարմինն այնքան երկար է պահպանում իր արագությունը, որքան նրա վրա թույլ են ազդում այլ մարմիններ. հարթ հորիզոնական մակերևույթով նետված քարն այնքան ավելի երկար կշարժվի, որքան հարթ է այդ մակերևույթը, այսինքն՝ որքան փոքր է նրա վրա այլ մարմինների դիմադրող ազդեցությունը: Նյուտոնի առաջին օրենքի ճշտության մեջ վերջնականապես համոզվում ենք անուղղակի ձևով. նրանից բխող բոլոր հետևանքների և փորձնական տվյալների համընկնումով: Դիտումները ցույց են տալիս, որ Նյուտոնի առաջին օրենքը ճիշտ է հաշվարկման ոչ բոլոր համակարգերի նկատմամբ: Արդեն նշվել է, որ շարժման բնույթը կախված է հաշվարկման համակարգի ընտրությունից: Քննարկենք հաշվարկման երկու համակարգեր, որոնք շարժվում են իրար նկատմամբ որևէ արագացումով: Եթե դրանցից մեկի նկատմամբ մարմինը հանգստի վիճակում է, ապա ակնհայտ է, որ մյուսի նկատմամբ այն կշարժվի արագացումով: Հետևաբար, Նյուտոնի առաջին օրենքը չի կարող տեղի ունենալ այդպիսի երկու համակարգերում միաժամանակ: Հաշվարկման այն համակարգը, որտեղ իրագործվում է Նյուտոնի առաջին օրենքը, կոչվում է իներցիալ:

Փորձնական ճանապարհով հաստատված է, որ հաշվարկման այն համակարգը, որի սկիզբը համընկնում է Արևի կենտրոնի հետ, իսկ առանցքներն ուղղված են դեպի համապատասխան ձևով ընտրված աստղերը, կարելի է համարել իներցիալ: Այդ համակարգը կոչվում է արևակենտրոն (հելիոցենտրիկ) հաշվարկման համակարգ: Ցանկացած հաշվարկման համակարգ, որը շարժվում է հավասարաչափ և ուղղագիծ արևակենտրոն կամ որևէ այլ իներցիալ համակարգի նկատմամբ, նույնպես իներցիալ է: Իսկ ամեն մի համակարգ, որը իներցիալ համակարգերից մեկի նկատմամբ ունի արագացում, ինքը իներցիալ չի լինի:

Այսպիսով, Նյուտոնի առաջին օրենքը հաստատում է, որ բնության մեջ գոյություն ունեն իներցիալ հաշվարկման համակարգեր, այսինքն` այնպիսի համակարգեր, որոնց նկատմամբ ազատ շարժվող մարմինը պահպանում է իր արագությունը:

Նյուտոնի երկրորդ օրենքում հանդես են գալիս կինեմատիկայում չօգտագործվող երեք նոր ֆիզիկական մեծություններ՝ ուժ, զանգված և իմպուլս: Ուժը տալիս է տվյալ մարմնի վրա այլ մարմինների ազդեցության ուղղությունը և քանակական բնութագիրը: Զանգվածը տալիս է այդ ազդեցություների նկատմամբ մարմնի «զգայունության» քանակական բնութագիրը, այսինքն` մարմնի իներտության չափը:  իմպուլսը համընթաց շարժում կատարող մարմնի հիմնական դինամիկական բնութագիրն է:

Նյուտոնի ձևակերպմամբ երկրորդ օրենքն ասում է. մարմնի իմպուլսի փոփոխության արագությունը հավասար է մարմնի վրա ազդող  արդյունարար ուժին.

(2.1) հավասարումը կոչվում է մարմնի համընթաց շարժման դինամիկայի հավասարում: Փոխարինելով  և ենթադրելով, որ մարմնի զանգվածը հաստատուն է, (2.1) առնչությունը կարելի է ներկայացնել՝

տեսքով, որտեղ  Այսպիսով, հանգում ենք Նյուտոնի երկրորդ օրենքի այլ ձևակերպման, որը դեռ Նյուտոնից առաջ տվել էր Գալիլեյը: Մարմնի զանգվածի և արագացման արտադրյալը հավասար է մարմնի վրա ազդող համազոր ուժին: Նշենք, որ Նյուտոնի օրենքը բազմաթիվ փորձերի ընդհանրացման արդյունք է: Այս օրենքը, ինչպես և Նյուտոնի առաջին օրենքը, իրավացի է միայն հաշվարկման իներցիալ համակարգերում: Մասնավոր դեպքում, երբ ուժը հավասար է զրոյի (մարմնի վրա այլ մարմինների ազդեցության բացակայության դեպքում), արագացումը, ինչպես հետևում է (2.2)-ից, նույնպես հավասար կլինի զրոյի  որը և համընկնում է Նյուտոնի առաջին օրենքի պնդման հետ: Դրա համար կարող է թվալ, թե առաջին օրենքը մտնում է երկրորդ օրենքի մեջ՝ որպես նրա մասնավոր դեպք: Չնայած դրան` առաջին օրենքը ձևակերպվում է երկրորդից անկախ, քանի որ, ըստ էության, այն պարունակում է հաշվարկման իներցիալ համակարգերի գոյության մասին կանխադրույթը:

Նյուտոնի երրորդ օրենքը լրացնում է երկրորդ օրենքի բովանդակությունը և ընդգծում այն հանգամանքը, որ մարմինների շարժման վիճակների փոփոխություն առաջ բերող ազդեցությունները կրում են փոխազդեցության բնույթ: Եթե A մարմինը ազդում է B մարմնի վրա որևէ ուժով, ապա միևնույն ժամանակի ընթացքում B մարմինն ազդում է A մարմնի վրա ուժով:

Դիտարկենք հետևյալ օրինակը.  զանգվածներով երկու մարմիններ, որոնք մեկուսացված են արտաքին ազդեցությունից, ձգում կամ վանում են իրար որևէ բնույթի ուժով (նկ. 2.1)

 ուժերի ազդեցության տակ մարմինները համապատասխանաբար ձեռք են բերում հակառակ ուղղված  արագացումներ: Պարզվում է, որ այս արագացումների արժեքները հակադարձ համեմատական են մարմինների զանգվածներին՝

որտեղից հետևում է հավասարությունը, հետևաբար նաև ուժերի մոդուլների հավասարությունը՝  Ակնհայտ է, որ ուժերի ուղղությունները հակառակ են:

Նյուտոնի երրորդ օրենքը փորձնական փաստերի ընդհանրացում է, որը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. մարմինների` միմյանց վրա ունեցած յուրաքանչյուր ազդեցություն կրում է փոխազդեցության բնույթ. ուժերը, որոնցով մարմիններն ազդում են միմյանց վրա, միշտ ունեն նույն բնույթը և ազդման գիծը, հավասար են ըստ մեծության և հակառակ՝ ըստ ուղղության: Օգտվելով նկ.2.1-ում օգտագործված նշանակումներից` երրորդ օրենքի էությունը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով՝

Ըստ վերը նշվածի` ուժերը միշտ առաջանում են զույգ-զույգ, ամեն մի ուժին, որը կիրառված է որևէ մարմնի վրա, հակադրվում է նրան մեծությամբ հավասար և հակառակ ուղղված մի այլ ուժ, որը կիրառված է տվյալ մարմնի հետ փոխազդող մի այլ մարմնի վրա: Ակնառու է, որ այդ ուժերը չեն համակշռում իրար:

Նյուտոնի երրորդ օրենքը, ինչպես և առաջին երկու օրենքները, ճիշտ են հաշվարկման իներցիալ համակարգերում: Նշենք նաև, որ լույսի արագության հետ համեմատած արագություններով շարժվելու դեպքում նկատվում են շեղումներ (2.3) օրենքից:

>>

2.3. ՇՓՄԱՆ ՈՒԺԵՐ

Փորձից հայտնի է, որ ամեն մի մարմին շարժվելով մի ուրիշ մարմնի հորիզոնական մակերևույթով, նրա վրա այլ ուժերի ազդեցության բացակայության դեպքում ժամանակի ընթացքում դանդաղեցնում է իր շարժումը, և, վերջիվերջո, կանգ է առնում: Դա կարելի է բացատրել շփման ուժի գոյությամբ, որը խոչընդոտում է հպվող մարմինների` սահքին միմյանց նկատմամբ: Շփման ուժերը կախված են մարմինների հարաբերական արագություններից, նրանց ազդեցության արդյունքում մեխանիկական էներգիան միշտ փոխակերպվում է հպվող մարմինների ներքին էներգիայի, այսինքն` մասնիկների ջերմային էներգիայի:

Տարբերում են արտաքին (չոր) և ներքին շփում (հեղուկ կամ մածուցիկ) շփում: Այդ բաժանումը ունի պայմանական բնույթ: Արտաքին կոչվում է այն շփումը, որն առաջանում է երկու հպվող մարմինների շոշափող հարթության մեջ դրանց հարաբերական տեղափոխության դեպքում: Եթե հպվող մարմինները միմյանց նկատմամբ անշարժ են, խոսում են դադարի շփման ուժի մասին, եթե կատարվում է այդ մարմինների հարաբերական տեղափոխություն, ապա կախված դրանց հարաբերական շարժման բնույթից, խոսում են սահքի և գլորման շփման ուժի մասին:

Ներքին շփում կոչվում է այն շփումը, որն առաջանում է միևնույն մարմնի մասերի, օրինակ, հեղուկի կամ գազի տարբեր շերտերի միջև, որոնց արագությունները շերտից շերտ փոխվում են: Ի տարբերություն արտաքին շփման` այստեղ բացակայում է դադարի շփումը:

 Եթե մարմինները սահում են միմյանց նկատմամբ և բաժանված են մածուցիկ հեղուկի միջնաշերտով (քսուքներ), ապա շփումն առաջանում է քսուքի շերտում: Այսպիսի դեպքում խոսում են հիդրոդինամիկական շփման (քսուքի շերտը բավականաչափ հաստ է) և եզրային շփման (քսուքային միջնաշերտի հաստությունը կազմում է մոտ 0,1 մկմ և ավելի փոքր) մասին: Շփման ուժերը որոշվում են նյութի մոլեկուլների միջև փոխազդեցության բնույթով և ըստ իրենց բնույթի էլեկտրամագնիսական ուժեր են: Այդ ուժերը նկարագրվում են փորձնական ճանապարհով ստացված օրինաչափություններով:

Քննարկենք արտաքին շփման որոշ օրինաչափություններ: Այդ շփումը պայմանավորված է հպվող մակերևույթների խորդուբորդություններով, իսկ շատ ողորկ մակերևույթների դեպքում` միջմոլեկուլային ուժերի ձգողությամբ:

Դիտարկենք հարթության վրա գտնվող մարմինը (նկ.2.2), որի նկատմամբ կիրառված է հորիզոնական  ուժը: Մարմինը գտնվում է շարժման մեջ միայն այն դեպքում, երբ կիրառված  ուժը մեծ է  շփման ուժից: Ֆրանսիացի ֆիզիկոսներ Գ. Ամոնտոնը (1663-1705) և Շ. Կուլոնը (1736-1806) փորձնական ճանապարհով սահմանեցին հետևյալ օրենքը. սահքի  շփման ուժը համեմատական է N նորմալ ճնշման ուժին, որով մի մարմինն ազդում է մյուսի վրա.

որտեղ  սահքի շփման գործակիցն է և կախված է հպվող մակերևույթների հատկությունից:

Գտնենք շփման գործակցի արժեքը: Եթե մարմինը գտնվում է թեք հարթության վրա (նկ.2.3), որի թեքման անկյունը է, ապա այն գտնվում է շարժման մեջ միայն այն դեպքում, երբ ծանրության  տանգենցիալ բաղադրիչը մեծ է  Հետևաբար, սահմանային դեպքում (մարմնի սահքի սկիզբ)  կամ

որտեղից

Այսպիսով, շփման գործակիցը հավասար է  անկյան տանգենսին, որի դեպքում սկսվում է մարմնի սահքը թեք հարթությունով:

Ողորկ մակերևույթների համար որոշակի դեր է սկսում խաղալ միջմոլեկուլային ձգողությունը: Դրանց համար կիրառվում է սահքի շփման օրենքը`

որտեղ  սահքի իրական շփման գործակիցն է, S-ը մարմինների միջև հպման մակերեսը,  լրացուցիչ ճնշումն է` պայմանավորված միջմոլեկուլային ձգողական ուժերով, որոնք արագ նվազում են` մասնիկների միջև հեռավորությունը մեծացնելով:

Շփման ուժերը էապես փոքրացնելու համար հարկավոր է սահքի շփման ուժը փոխարինել գլորման շփման ուժով (գնդիկային և հոլովակային առանցկակալներ և այլն):

Գլորման շփման ուժը որոշվում է Կուլոնի կողմից տրված օրենքով.

որտեղ  գլորման շփման գործակիցն է, r-ը` գլորվող մարմնի շառավիղը: Գլորման շփման ուժը հակադարձ համեմատական է գլորվող մարմնի շառավղին:

Շփումը բնության մեջ և տեխնիկայում մեծ դեր է խաղում: Շփման շնորհիվ շարժվում է տրանսպորտը, պահվում է պատին խփված մեխը: Որոշ դեպքերում շփման ուժերը վտանգավոր ազդեցություն են թողնում և հետևաբար, հարկավոր է դրանք փոքրացնել: Ուստի հպվող մակերևույթները պատում են քսուքով (շփման ուժը փոքրանում է մոտ 10 անգամ), որը լցնում է այդ մակերևույթների միջև խորդուբորդությունները և բաշխվում է դրանց միջև բարակ շերտով, այնպես, որ կարծես թե մակերևույթները դադարում են միմյանց հետ շփվելուց, և հեղուկի առանձին շերտեր սահում են միմյանց նկատմամբ: Այսպիսով, պինդ մարմինների արտաքին շփումը փոխարինվում է նշանակալից փոքր հեղուկի ներքին շփումով:

>>

2. 4. ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ ԴԵՖՈՐՄԱՑԻԱՆ

Դիտարկելով պինդ մարմնի մեխանիկան, օգտվեցինք բացարձակ պինդ մարմնի հասկացությունից: Սակայն բնության մեջ բացարձակ պինդ մարմիններ չկան, քանի որ բոլոր իրական մարմինները ուժի ազդեցության տակ փոխում են իրենց ձևը և չափերը, այսինքն` դեֆորմացվում են:

Դեֆորմացիան կոչվում է առաձգական, եթե արտաքին ուժերը վերացնելուց հետո մարմինն ընդունում է սկզբնական ձևը և չափերը: Այն դեֆորմացիաները, որոնք պահպանվում են մարմնում արտաքին ուժերը վերացնելուց հետո, կոչվում են պլաստիկ (կամ մնացորդային):

Իրական մարմնի դեֆորմացիաները միշտ պլաստիկ են, քանի որ դրանք արտաքին ուժերի վերացման դեպքում, երբեք լրիվ չեն անհետանում: Սակայն, եթե մնացորդային դեֆորմացիաները փոքր են, ապա դրանք կարելի է անտեսել և դիտարկել առաձգական դեֆորմացիաները: Առաձգականության տեսությունում ապացուցվում է, որ բոլոր տեսակի դեֆորմացիաները (ձգում կամ սեղմում, սահք, ծռում, պտտում) կարող են տեղեկացնել միաժամանակ կատարվող ձգման կամ սեղմման և սահքի դեֆորմացիաների մասին:

Դիտարկենք l երկարություն և S լայնական հատույթի մակերեսով համասեռ ձող (նկ.2.4), որի ծայրերին կիրառված են նրա առանցքով ուղղված  ուժեր  արդյունքում ձողի երկարությունը փոխվում է մեծությամբ: Բնական է, որ ձգման դեպքում  դրական է, իսկ սեղմման դեպքում` բացասական:

Մարմնի դեֆորմացիայի դեպքում ծագում են առաձգականության ուժեր: Այն ֆիզիկական մեծությունը, որը թվապես հավասար է մարմնի լայնական հատույթի միավոր մակերեսի վրա ազդող առաձգականության ուժի մոդուլին, կոչվում է մեխանիկական լարում և որոշվում է

բանաձևով: Բանաձևից հետևում է, որ մեխանիկական լարման չափման միավորը պասկալն է (Պա):

Եթե ուժը ուղղված է մակերևույթի նորմալով, լարումը կոչվում է նորմալ, եթե ուղղված է մակերևույթին շոշափողով` տանգենցիալ լարում:

Մարմնի դեֆորմացիայի քանակական չափը բնութագրվում է հարաբերական դեֆորմացիայով: Այսպես, ձողի հարաբերական երկարացումը (երկայնական դեֆորմացիա)`

հարաբերական լայնական սեղմումը (լայնական դեֆորմացիա)`

որտեղ d-ն ձողի տրամագիծն է:

 դեֆորմացիաները միշտ ունեն տարբեր նշաններ (ձգման դեպքում  դրական է, իսկ  բացասական, սեղմման դեպքում  բացասական է, իսկ  դրական): Փորձից հետևում է  փոխադարձ կապը.

որտեղ  նյութի հատկություններից կախված դրական մեծություն է և կոչվում է Պուասոնի գործակից:

 Անգլիացի ֆիզիկոս Ռ. Հուկը (1635-1703) փորձարարական ճանապարհով հայտնաբերեց, որ փոքր դեֆորմացիաների դեպքում հարաբերական երկարացումը և լարումը համեմատական են միմյանց

որտեղ E համեմատականության գործակիցը կոչվում է Յունգի մոդուլ: (2.12) արտահայտությունից երևում է, որ Յունգի մոդուլը որոշվում է այն լարումով, որն առաջացնում է միավորի հավասար հարաբերական դեֆորմացիա: (2.9), (2.12) և (2.8) բանաձևերից հետևում է, որ

որտեղ k-ն առաձգականության գործակիցն է: (2.13) արտահայտությունը նույնպես որոշում է Հուկի օրենքը, համաձայն որի ձողի երկարացումը առաձգական դեֆորմացիայի դեպքում համեմատական է ձողի վրա ազդող ուժին: Պինդ մարմինների դեֆորմացիաները ենթարկվում են Հուկի օրենքին մինչև հայտնի սահմանը: Դեֆորմացիայի և լարման միջև կապը բերված է լարման դիագրամի տեսքով, որի որակական ընթացքը կդիտարկենք մետաղական նմուշի վրա (նկ.2.5):

Նկարից երևում է, որ  գծային կախվածությունը, որը տվել է Հուկը, կատարվում է շատ նեղ տիրույթում, մինչև այսպես կոչված համեմատականության սահմանը  Լարման հետագա մեծացման դեպքում դեֆորմացիան դեռ առաձգական է (չնայած  կախվածությունը արդեն ոչ գծային է), և մինչև առաձգականության սահմանը  մնացորդային դեֆորմացիաներ չեն առաջանում:

Առաձգականության սահմանից դուրս մարմնում առաջանում են մնացորդային դեֆորմացիաներ և ուժի ազդեցությունը վերացնելուց հետո, մարմընի վերադարձը սկզբնական վիճակին նկարագրող գրաֆիկը պատկերվում ոչ թե BO կորով, այլ OA-ին զուգահեռ CF ուղղով:

Այն լարումը, որի դեպքում առաջ է գալիս նկատելի մնացորդային դեֆորմացիա  կոչվում է հոսունության սահման  կորի վրա` C կետը: CD տիրույթում դեֆորմացիան աճում է առանց լարման մեծացման, այսինքն` մարմինը կարծես թե «հոսում» է: Այդ տիրույթը կոչվում է հոսունության տիրույթ կամ պլաստիկ դեֆորմացիաների տիրույթ:

Այն նյութերը, որոնց համար հոսունության տիրույթը նշանակալից է, կոչվում են մածուցիկ, իսկ այն նյութերը, որոնցում հոսունությունը գործնականորեն բացակայում է, կոչվում են փխրուն: Հետագա ձգման դեպքում (D կետին մոտ) տեղի է ունենում մարմնի քայքայում: Այն առավելագույն լարումը, որն առաջանում է մարմնում մինչև նրա քայքայումը, կոչվում է ամրության սահման  Լարման դիագրամը տարբեր պինդ մարմինների համար կախված է տարբեր գործոններից: Միևնույն պինդ մարմինը կարող է ուժի կարճատև ազդեցության դեպքում հադես գալ որպես փխրուն, իսկ երկարատև, բայց թույլ ուժերի դեպքում` հոսելի:

Հաշվենք առաձգական ձգված ձողի պոտենցիալ էներգիան, որը հավասար է դեֆորմացիայի դեպքում արտաքին ուժերի կատարած աշխատանքին.

որտեղ x-ը ձողի բացարձակ երկարացումն է, որը դեֆորմացիայի դեպքում փոփոխվում է 0-ից մինչև  Համաձայն Հուկի (2.13) օրենքի`

ուստի

այսինքն` առաձգականորեն ձգված ձողի պոտենցիալ էներգիան համեմատական է դեֆորմացիայի քառակուսուն:

>>

2.5. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳԻ ԶԱՆԳՎԱԾՆԵՐԻ (ԻՆԵՐՑԻԱՅԻ)
ԿԵՆՏՐՈՆ ԵՎ ՆՐԱ ՇԱՐԺՄԱն ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՕՐԵՆՔԸ

Դիտարկենք մեխանիկական համակարգ, որը բաղկացած է n թվով նյութական կետերից:

Համակարգի իներցիայի կենտրոն է կոչվում այն կետը, որի դիրքը տարածության մեջ որոշվում է  շառավիղ-վեկտորով, որը որոշվում է հետևյալ արտահայտությամբ՝

 նյութական կետի զանգվածն է,  տարածության մեջ այդ կետի դիրքը որոշող շառավիղ-վեկտորը, m-ը` համակարգի գումարային զանգվածը:

Իներցիայի կենտրոնի դեկարտյան կոորդինատները հավասար են  պրոյեկցիաներին (կոորդինատների առանցքների վրա), այսինքն՝

Նշենք, որ համասեռ գրավիտացիոն դաշտում իներցիայի կենտրոնը համընկնում է համակարգի ծանրության կենտրոնի հետ:

Ածանցելով  ըստ ժամանակի` կստանանք իներցիայի կենտրոնի արագությունը՝

Այսպիսով, համակարգի իմպուլսը հավասար է համակարգի զանգվածի և նրա իներցիայի կենտրոնի արագության արտադրյալին: Ածանցելով (2.6)-ը ըստ ժամանակի` կստանանք՝

Ըստ (2.18) հավասարության մարմնի զանգվածի կենտրոնը շարժվում է այնպես, ինչպես շարժվում է մարմնի զանգվածին հավասար զանգված ունեցող նյութական կետն այնպիսի ուժի ազդեցության տակ, որը հավասար է արտաքին ուժերի վեկտորական գումարին: Եթե արտաքին ուժերի արդյունարար վեկտորը հավասար է զրոյի, ապա մարմնի զանգվածի կենտրոնը կմնա հանգստի վիճակում կամ կշարժվի ուղղագիծ և հավասարաչափ: Ներքին ուժերը չեն կարող փոխել զանգվածի կենտրոնի արագությունը:

Խնդիր 1:  զանգվածով չորսուն գտնվում է  զանգվածով տախտակի վրա, որը գտնվում է հորիզոնական հարթության մեջ (նկ.1):

Տախտակի և չորսուի մակերևույթների միջև շփման գործակիցը  է: Տախտակին կիրառված է հորիզոնական F ուժ, որը կախված է ժամանակից  օրենքով, որտեղ  հաստատուն է: Գտնել. 1) ժամանակի այն  պահը, որի դեպքում տախտակը կսկսի սահել չորսուի տակից, 2) չորսուի և տախտակի  արագացումները շարժման պրոցեսում: Գծել այդ կախվածությունների գրաֆիկները:

Լուծում: 1) Գրենք դինամիկայի հիմնական հավասարումը չորսուի և տախտակի համար` վերցնելով x-ի առանցքի դրական ուղղությունը, ինչպես ցույց է տրված նկ.1-ում:

F ուժի աճի դեպքում սկսում է աճել նաև շփման ուժը (սկզբում այն դադարի շփման ուժ է): Բայց F_շփ շփման ուժն ունի սահման`

Քանի դեռ F_շփ-ն այդ սահմանին չի հասել, երկու մարմիններն էլ կշարժվեն որպես մեկ ամբողջություն միևնույն արագացումներով: Երբ F_շփ ուժը հասնում է իր սահմանին, տախտակն սկսում է սահել չորսուի տակից, այսինքն

Տեղադրելով  (1)-ից (2)-ի մեջ, հաշվի առնելով, որ

 որտեղ «-» նշանը համապատասխանում է t=t₀ պահին: Որտեղից

 կախվածությունների գրաֆիկները բերված են նկ.2-ում:

>>

2.6. ԻՄՊՈՒԼՍԻ ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔԸ

Փակ համակարգի համար գոյություն ունեն համակարգը կազմող մասնիկների կոորդինատների և արագությունների այնպիսի ֆունկցիաներ, որոնք շարժման դեպքում իրենց արժեքները պահպանում են հաստատուն: Այդ ֆունկցիաները կոչվում են շարժման ինտեգրալներ: Շարժման ինտեգրալների թվին են պատկանում իմպուլսը, էներգիան և իմպուլսի մոմենտը: Դրան համապատասխան առկա են հետևյալ պահպանման օրենքները՝ էներգիայի պահպանման օրենքը, իմպուլսի պահպանման օրենքը և իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը:

Նախ քննարկենք իմպուլսի պահպանման օրենքը: Դիցուք ունենք n թվով նյութական կետերի մեխանիկական համակարգ: Համակարգը կարող է լինել կամ փակ, կամ բաց: Համակարգը կոչվում է փակ, եթե նրանում գործում են միայն ներքին ուժեր: Ներքին կոչվում է այն ուժը, որին, ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի, հակազդող ուժը գտնվում է համակարգի ներսում: Քանի որ ներքին ուժերը զույգ առ զույգ թվապես հավասար են, ազդում են նույն գծով և իրար հակառակ են ուղղված, ապա բոլոր ներքին ուժերի վեկտորական գումարը հավասար է զրոյի: Համակարգը կոչվում է բաց, եթե, բացի ներքին ուժերից, նրանում գործում են արտաքին ուժեր: Արտաքին կոչվում է այն ուժը, որին, ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի, հակազդող ուժը գտնվում է համակարգից դուրս: Ինչպես գիտենք, նյութական կետի իմպուլս է կոչվում նրա զանգվածի և արագության արտադրյալը՝  Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի` իմպուլսի փոփոխությունը միավոր ժամանակում հավասար է նյութական կետի վրա ազդող ուժերի համազորին.

Միանգամայն պարզ է, որ մեկ նյութական կետի իմպուլսը կմնա հաստատուն, եթե նրա վրա ազդող ուժերի համազորը՝

Եթե ունենք նյութական կետերի մեխանիկական որևէ համակարգ, համակարգի մեջ մտնող յուրաքանչյուր նյութական կետի վրա ազդում են ինչպես ներքին, այնպես էլ արտաքին ուժեր (եթե համակարգը բաց է): Հետեվաբար, յուրաքանչյուր նյութական կետի իմպուլսը համակարգի ներսում փոփոխվում է: Մեզ հետաքրքրում է՝ փոփոխվու՞մ է արդյոք այդ դեպքում համակարգի իմպուլսը, թե` ոչ: Համակարգի իմպուլսը`

Ամբողջ համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը միավոր ժամանակում հավասար է նրա մեջ մտնող նյութական կետերի՝ միավոր ժամանակում իմպուլսների փոփոխությունների վեկտորական գումարին:

որտեղ

Համակարգի  իմպուլսը կմնա հաստատուն, թե կփոփոխվի, կախված է նրանից, թե  գումարը ինչի՞ է հավասար: Այդ գումարը հաշվելու համար սովորաբար դիմում են Նյուտոնի երրորդ օրենքին: Եթե համակարգը փակ է, ապա արտաքին ուժերը բացակայում են, և գործում են միայն ներքին ուժերը, որոնց վեկտորական գումարը հավասար կլինի զրոյի, և խնդիրը միանգամից կլուծվի:

Այսպիսով, փակ համակարգի դեպքում  հետևաբար, ներքին ուժերը փակ համակարգի իմպուլսը փոխել չեն կարող: Փակ համակարգ կազմող մարմինների իմպուլսների վեկտորական գումարը մնում է հաստատուն այդ համակարգի մարմինների ցանկացած փոխազդեցության դեպքում.

Բաց համակարգի դեպքում՝

Այսպիսով կարող ենք ասել, որ համակարգի իմպուլսը փոխել կարող են միայն արտաքին ուժերը:

Վեկտորական (2.20) հավասարումը համարժեք է երեք սկալյար հավասարումների

որոնք ստացվում են (2.20) հավասարումից, դեկարտյան կոորդինատային համակարգի անշարժ առանցքների վրա պրոյեկտման ճանապարհով: (2.21) հավասարումներից հետևում է իմպուլսի պրոյեկցիայի պահպանման օրենքը. եթե արտաքին ուժերի արդյունարար վեկտորի պրոյեկցիան որևէ առանցքի վրա հավասար է զրոյի, ապա համակարգի իմպուլսի վեկտորի պրոյեկցիան այդ առանցքի վրա կախված չէ ժամանակից: Օրինակ, եթե

Իմպուլսի պահպանման օրենքը կարելի է ստանալ նաև Նյուտոնի երրորդ օրենքի փոխարեն օգտվելով տարածության համասեռության հատկությունից: Ենթադրենք համակարգը փակ է: Այն 1 դիրքից մտովի տեղափոխենք 2 դիրքն այնպես, որ բոլոր նյութական կետերը կրեն միատեսակ տեղափոխություններ, և նրանց արագությունները ուղղությամբ և թվային արժեքով մնան նույնը: Ըստ տարածության համասեռության, եթե մարմինների համակարգը զուգահեռ տեղափոխենք 1 դիրքից 2 դիրքը և մարմինները դնենք նույն պայմանների մեջ, ապա դա չի ազդի դեպքերի ընթացքի վրա: Այդ նշանակում է, որ նման տեղափոխության ժամանակ նյութական կետերի փոխազդեցության պոտենցիալ և շարժման կինետիկ էներգիաները փոփոխություն չեն կրի, այսինքն` E=T+U=const (համակարգի լրիվ մեխանիկական էնեգիան մնում է հաստատուն): Հետևաբար, համակարգի նման տեղափոխության ժամանակ աշխատանք չի կատարվում (A=0) :

այսինքն` փակ համակարգի իմպուլսը պահպանվում է:

>>

2.7. ՓՈՓՈԽԱԿԱՆ ԶԱՆԳՎԱԾՈՎ ՄԱՐՄՆԻ ՇԱՐԺՄԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Որոշ մարմինների շարժումն ուղեկցվում է նրանց զանգվածի փոփոխությամբ, օրինակ հրթիռի զանգվածը փոքրանում է գազերի արտահոսքի հետևանքով, որոնք առաջանում են վառելիքի այրման դեպքում:

Արտածենք փոփոխական զանգվածով մարմնի շարժման հավասարումը հրթիռի շարժման օրինակով: Եթե ժամանակի t պահին հրթիռի զանգվածը m է, նրա արագությունըէ, ապա dt ժամանակում արտահոսքի պատճառով նրա զանգվածը նվազում է` դառնալով m-dm, իսկ արագությունը`  Համակարգի իմպուլսի փոփոխությունը dt ժամանակում`

որտեղ  գազերի արտահոսքն է հրթիռի նկատմամբ:

Հետևաբար` (հաշվի առանք, որ  անվերջ փոքր է մյուսների համեմատ): Եթե համակարգի վրա ազդում են արտաքին ուժեր, ապա ուստի

կամ

(2.22) հավասարման աջ մասի երկրորդ գումարելին կոչվում է ռեակտիվ ուժ`  Եթե  հակառակ է արագության ուղղությանը, ապա հրթիռն արագացվում է, իսկ եթե համընկնում է  հետ, արգելակվում է:

Այսպիսով, ստացվում է փոփոխական զանգվածով մարմնի շարժման հավասարումը`

որն առաջին անգամ ստացել է Ի. Մեշչերսկին (1859-1935):

Կիրառենք (2.23) հավասարումը հրթիռի շարժման դեպքում, որի վրա չեն ազդում արտաքին ուժեր: Ընդունելով, որ  և նկատի ունենալով, որ դուրս մղվող գազերի արագությունը հրթիռի նկատմամբ հաստատուն է (հրթիռը շարժվում է ուղղագիծ), կստանանք`

որտեղից

Ինտեգրման C հաստատունի արժեքը որոշենք սկզբնական պայմաններից: Եթե ժամանակի սկզբնական պահին հրթիռի արագությունը զրո է, իսկ նրա մեկնարկային զանգվածը`

Հետևաբար`

Այս առնչությունը կոչվում է Ցիոլկովսկու բանաձև: Այն ցույց է տալիս, որ. 1) ինչքան մեծ է հրթիռի վերջնական m զանգվածը, այնքան մեծ պետք է լինի հրթիռի մեկնարկային  զանգվածը, 2) որքան մեծ է գազերի արտահոսքի u արագությունը հրթիռի տվյալ մեկնարկային  զանգվածի դեպքում, այնքան մեծ կարող է լինել վերջնական զանգվածը: Հաշվարկի համաձայն, եթե u=2000մ/վ, ապա առաջին տիեզերական արագություն (v=8000մ/վ) ստանալու համար անհրաժեշտ է, որ վառելիքի զանգվածը մոտ 54 անգամ գերազանցի հրթիռի վերջնական զանգվածը:

 (2.23) և (2.24) արտահայտությունները ստացվել են ոչ ռելյատիվիստական շարժումների համար, այսինքն այն դեպքերի համար, երբ v և u արագությունները փոքր են վակուումում լույսի տարածման արագության համեմատ:

>>

ԳԼՈՒԽ 3. ԱՇԽԱՏԱՆՔ ԵՎ ԷՆԵՐԳԻԱ

3.1. ԷՆԵՐԳԻԱ, ԱՇԽԱՏԱՆՔ, ՀԶՈՐՈՒԹՅՈՒՆ

Էներգիան տարբեր շարժումների ձևերի և փոխազդեցությունների ունիվերսալ չափն է: Մատերիայի շարժման ձևերի հետ կապում են էներգիայի տարբեր տեսակներ. մեխանիկական, ջերմային, էլեկտրամագնիսական, միջուկային և այլն: Որոշ երևույթներում մատերիայի շարժման ձևը չի փոփոխվում (օրինակ, տաք մարմինը տաքացնում է սառը մարմինը), ուրիշներում` անցնում է այլ ձևի (օրինակ, շփման արդյունքում մեխանիկական շարժումը փոխակերպվում է ջերմայինի): Սակայն էական է, որ բոլոր դեպքերում էներգիան, որը տրվում է (այս կամ այն ձևով) մեկ մարմնից մյուսին, հավասար է վերջին մարմնի ստացած էներգիային:

Մարմնի մեխանիկական շարժման փոփոխությունը առաջ է գալիս այլ մարմինների կողմից նրա վրա ազդող ուժերով:

Որպեսզի քանակապես բնութագրվի էներգիայի փոխանակման պրոցեսը, փոխազդող մարմինների միջև մեխանիկայում ներմուծվում է ուժի աշխատանքի հասկացությունը:

Մեխանիկական աշխատանք կոչվում է այն սկալյար մեծությունը, որը բնութագրում է այնպիսի ֆիզիկական պրոցես, երբ տեղի ունի էներգիայի փոխանցում մի մարմնից մյուսին (մյուսներին) կամ փոխակերպում մի տեսակից այլ տեսակի (տեսակների)՝ ուժի ազդեցության տակ մարմնի տեղափոխության հետևանքով:

Եթե մարմինը շարժվում է ուղղագիծ և նրա վրա ազդում է հաստատուն ուժ, որը տեղափոխության ուղղության հետ կազմում է անկյուն, ապա այդ ուժի աշխատանքը հավասար է տեղափոխության ուղղության վրա ուժի F_S պրոյեկցիայի  և ուժի կիրառման կետի տեղափոխության արտադրյալին.

Ուժը կարող է փոփոխվել ինչպես ըստ մոդուլի, այնպես էլ ըստ ուղղության, ուստի ընդհանուր դեպքում (3.1) բանաձևից օգտվել չի կարելի: Սակայն, եթե դիտարկենք տարրական տեղափոխությունը, ապա  կարող ենք ընդունել հաստատուն, իսկ նրա կիրառման կետի շարժումը` ուղղագիծ:  ուժի տարրական աշխատանք տեղափոխության վրա կոչվում է`

սկալյար մեծությունը, որտեղ  վեկտորների միջև անկյունն է,  տարրական ճանապարհն է,  վեկտորի պրոյեկցիան է  վեկտորի վրա (նկ. 3.1 ):

Ուժի աշխատանքը հետագծի 1 կետից մինչև 2 կետը տեղամասի վրա հավասար է ճանապարհի անվերջ փոքր առանձին տեղամասերում տարրական աշխատանքների հանրահաշվական գումարին: Այդ գումարը բերվում է ինտեգրալի`

Ինտեգրալի հաշվման համար հարկավոր է գիտենալ  կախվածությունը s ճանապարհից 1-2 հետագծի երկայնքով: Այդ կախվածությունը ներկայացված է գրաֆիկորեն (նկ. 3.2): Որոնելի A աշխատանքը գրաֆիկի վրա որոշվում է ստվերագծված պատկերի մակերեսով: Եթե, օրինակ, մարմինը շարժվում է ուղղագիծ, ուժը`  ապա կստանանք`

որտեղ s-ը մարմնի անցած ճանապարհն է:

(3.1) բանաձևից հետևում է, որ  դեպքում ուժի աշխատանքը դրական է, այս դեպքում բաղադրիչը ուղղությամբ համընկնում է շարժման արագության վեկտորի ուղղության հետ (տես նկ.3.1): Եթե  ապա ուժի աշխատանքը բացասական է:  դեպքում (ուժն ուղղահայաց է տեղափոխությանը) ուժի աշխատանքը հավասար է զրոյի: Վերջին հանգամանքը պարզորոշ ցույց է տալիս, որ աշխատանք հասկացությունը մեխանիկայում հիմնովին տարբերվում է աշխատանքի մասին եղած առօրյա պատկերացումից: Առօրյա հասկացության համաձայն, յուրաքանչյուր ճիգ, մասնավորապես մկանային լարվածություն, միշտ ուղեկցվում է աշխատանքի կատարումով: Օրինակ՝ կանգնած տեղում (անշարժ) ծանր բեռը բռնելու ժամանակ բեռնակիրը մեծ ճիգ է գործադրում, այսինքն՝ «կատարում է աշխատանք»: Սակայն աշխատանքը, որպես մեխանիկական մեծություն, այս դեպքում հավասար է զրոյի:

Աշխատանքի միավորը ջոուլն է (Ջ): 1Ջ-ն այն աշխատանքն է, որը կատարում է 1Ն ուժը 1մ ճանապարհի վրա:

Որպեսզի բնութագրվի աշխատանքի կատարման արագությունը, ներմուծվում է հզորության հասկացությունը.

 dt ժամանակում  ուժը կատարում է  աշխատանք, և այդ ուժով զարգացրած հզորությունը ժամանակի տվյալ պահին`

այսինքն` հավասար է ուժի վեկտորի և արագության վեկտորի սկալյար արտադրյալին: N-ը սկալյար մեծություն է: Հզորության միավորը վատն (Վտ) է: 1Վտ-ն այն հզորությունն է, որի դեպքում 1վ-ում կատարվում է 1Ջ աշխատանք:

Խնդիր 1: m զանգվածով քարը Երկրի մակերևույթից  սկզբնական արագությամբ նետվել է հորիզոնի նկատմամբ անկյան տակ: Անտեսելով օդի դիմադրությունը` գտնել ծանրության ուժի հզորությունը շարժումը սկսելուց t վայրկյան անց, ինչպես նաև այդ ուժի աշխատանքը շարժման առաջին t վայրկյանում: Գծել N(t) և A(t) կախվածությունների գրաֆիկները:

Լուծում: Քարի արագությունը շարժման սկզբից t վայրկյան անց`  Ծանրության  ուժի զարգացրած հզորությունն այդ պահին`

N(t) և A(t) կախվածությունների գրաֆիկները ցույց են տրված նկ.1-ում:

Խնդիր 2: Յուրաքանչյուրը m զանգվածով և +q լիցքով լիցքավորված միատեսակ երեք մասնիկներ տեղադրել են կողմ ունեցող հավասարակողմ եռանկյան գագաթներում: Այնուհետև, մասնիկները միաժամանակ ազատվում են, որից հետո դրանք վանողական կուլոնյան ուժերի ազդեցության տակ սիմետրիկորեն թռչում են: Գտնել.

1) Յուրաքանչյուր մասնիկի արագության կախումը նրանց միջև եղած r հեռավորությունից:

2) Այն աշխատանքը, որը կատարում են կուլոնյան ուժերը ազդելով յուրաքանչյուր մասնիկի վրա, երբ մասնիկները թռչում են միմյանցից շատ մեծ հեռավորությունների վրա:

Լուծում: Քանի որ տվյալ համակարգը փակ է, ուստի նրա համար կինետիկ էներգիայի աճը հավասար է պոտենցիալ էներգիայի նվազմանը, այսինքն`

որտեղից կստանանք`  Վերջինից հետևում է,որ երբ  յուրաքանչյուր մասնիկի արագությունը ձգտում է սահմանային արժեքին` Բոլոր փոխազդեցության ուժերի կատարած աշխատանքը համակարգի կոնֆիգուրացիայի փոփոխության դեպքում հավասար է համակարգի պոտենցիալ էներգիայի նվազմանը.

որտեղ հաշվի է առնված, որ վերջնական դիրքում  Այստեղից էլ որոնելի աշխատանքը`

>>

3.2. ԿԻՆԵՏԻԿ ԵՎ ՊՈՏԵՆՑԻԱԼ ԷՆԵՐԳԻԱՆԵՐ

Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիա է կոչվում այդ համակարգի մեխանիկական շարժման էներգիան: Կինետիկ էներգիան որոշվում է դիտարկվող համակարգի մարմինների զանգվածներով և արագություններով:

Հանգստի վիճակում գտնվող մարմնի վրա ազդողուժը, առաջ բերելով նրա շարժումը, կատարում է աշխատանք, իսկ շարժվող մարմնի էներգիան աճում է ծախսված աշխատանքի մեծությամբ: Այսպիսով,  ուժի dA աշխատանքը ճանապարհի վրա, որը մարմինն անցնում է մի ժամանակում, որի ընթացքում արագությունն աճում է 0-ից մինչև v, գնում է մարմնի կինետիկ էներգիայի մեծացման վրա, այսինքն`

Oգտագործելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքը`  և բազմապատկելով  տեղափոխությունով, կստանանք`

որտեղից`

Այսպիսով, v արագությամբ շարժվող m զանգվածով մարմինն օժտված է կինետիկ էներգիայով.

(3.4) բանաձևից երևում է, որ կինետիկ էներգիան կախված է միայն մարմնի զանգվածից և արագությունից, այսինքն` համակարգի կինետիկ էներգիան նրա մեխանիկական շարժման վիճակի ֆունկցիա է:

(3.4) բանաձևի արտածման դեպքում ենթադրվեց, որ շարժումը դիտարկվում է հաշվարկման իներցիալ համակարգում, քանի որ այլ կերպ չէինք կարող օգտագործել Նյուտոնի օրենքները: Տարբեր իներցիալ հաշվարկման համակարգերում, որոնք շարժվում են միմյանց նկատմամբ, մարմնի արագությունը, հետևաբար և նրա կինետիկ էներգիան կլինեն տարբեր: Այսպիսով, կինետիկ էներգիան կախված է հաշվարկման համակարգի ընտրությունից:

Մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիան հավասար է համակարգի մեջ մտնող մարմինների կինետիկ էներգիաների գումարին: Այսպես, n թվով նյութական կետերից կազմված մեխանիկական համակարգի կինետիկ էներգիան`

որտեղ  զանգվածով i-րդ նյութական կետի արագությունն է:

Դիցուք մարմինների փոխազդեցությունը իրականացվում է ուժային դաշտերի (օրինակ, առաձգական ուժերի դաշտ, գրավիտացիոն ուժերի դաշտ) միջոցով: Այդ փոխազդեցությունը բնութագրվում է նրանով, որ ազդող ուժերի կատարած աշխատանքը մարմնի տեղափոխության դեպքում մեկ դիրքից մյուսը կախված չէ այն բանից, թե ինչպիսի հետագծով է կատարվել այդ տեղափոխությունը, այլ կախված է միայն սկզբնական և վերջնական դիրքերից: Այդպիսի դաշտերը կոչվում են պոտենցիալային, իսկ դրանցում գործող ուժերը` կոնսերվատիվ: Եթե ուժի կատարած աշխատանքը կախված է մարմնի մի կետից մյուսը տեղափոխության հետագծից, այդպիսի ուժը կոչվում է դիսսիպատիվ, դրա օրինակն է շփման ուժը: Այն ուժերը, որոնք կախված են փոխազդող մասնիկների միջև եղած հեռավորությունից և ուղղված են մասնիկների զանգվածների կենտրոնները միացնող ուղղի երկայնքով, կոչվում են կենտրոնական ուժեր: Այն դաշտը, որի լարվածությունը բոլոր կետերում մնում է անփոփոխ, կոչվում է համասեռ դաշտ:

Մարմինը, գտնվելով պոտենցիալային դաշտում, օժտված է պոտենցիալ էներգիայով: Կարելի է ասել, որ մեխանիկական համակարգի պոտենցիալ էներգիա է կոչվում էներգիայի այն մասը, որը կախված է համակարգի մասնիկների փոխադարձ դասավորությունից և արտաքին ուժային դաշտում նրանց դիրքից:

Կոնսերվատիվ ուժերի աշխատանքը համակարգի կոնֆիգուրացիայի տարրական (անվերջ փոքր) փոփոխության դեպքում հավասար է պոտենցիալ էնեգիայի աճին վերցրած «-» նշանով (աշխատանքը կատարվում է պոտենցիալ էներգիայի նվազման հաշվին).

dA աշխատանքն արտահայտվում է որպեսուժի և  տեղափոխության սկալյար արտադրյալ, հետևաբար (3.5) արտահայտությունը կարելի է գրել հետևյալ տեսքով`

Ուրեմն, եթե հայտնի է  ֆունկցիան, (3.6) բանաձևից կարելի է գտնել  ուժի մոդուլը և ուղղությունը: Համաձայն (3.6) բանաձևի, պոտենցիալ էներգիան`

որտեղ C-ն ինտեգրման հաստատուն է, այսինքն` պոտենցիալ էներգիան որոշվում է մինչև ինչ-որ հաստատունի ճշտությամբ: Սակայն դա էական չէ, քանի որ ֆիզիկական առնչությունների մեջ մտնում է կամ երկու կետերի պոտենցիալ էներգիաների տարբերությունը, կամ U ֆունկցիայի ածանցյալը` ըստ կոորդինատների: Ուստի մարմնի պոտենցիալ էներգիան ինչ-որ որոշակի դիրքում պայմանականորեն ընդունում են հավասար զրոյի (ընտրում են հաշվարկի զրոյական մակարդակ), իսկ մարմնի պոտենցիալ էներգիան այլ դիրքերում հաշվում են զրոյական մակարդակի նկատմամբ:

Կոնսերվատիվ ուժերի համար

կամ վեկտորական տեսքով`

որտեղ

 կոորդինատային առանցքների ուղղությամբ միավոր վեկտորներ են): (3.8) արտահայտությամբ վեկտորը կոչվում է U սկալյարի գրադիենտ: grandU ընդունված է նշանակել նաև  նշանակում է սիմվոլիկ վեկտոր, որը կոչվում է Համիլտոնի օպերատոր կամ «նաբլա» օպերատոր.

U ֆունկցիայի կոնկրետ տեսքը կախված է ուժային դաշտի բնույթից: Օրինակ, երկրագնդի մակերևույթից h բարձրության վրա բարձրացված m զանգվածով մարմնի պոտենցիալ էներգիան`

որտեղ h բարձրությունը հաշվարկվում է զրոյական մակարդակից, որի համար U=0: (3.10) արտահայտությունը բխում է անմիջականորեն նրանից, որ պոտենցիալ էներգիան հավասար է ծանրության ուժի աշխատանքին երկրագնդի մակերևույթի վրա h բարձրությունից մարմնի անկման դեպքում:

Քանի որ հաշվարկման սկիզբն ընտրվում է կամայական, ապա պոտենցիալ էներգիան կարող է ունենալ բացասական արժեք (կինետիկ էներգիան միշտ դրական է): Եթե Երկրագնդի մակերևույթի վրա գտնվող մարմնի պոտենցիալ էներգիան ընդունվի հավասար զրոյի, ապա մարմնի պոտենցիալ էներգիան հանքահորի հատակին

Գտնենք առաձգական դեֆորմացված մարմնի (զսպանակի) պոտենցիալ էներգիան: Առաձգական ուժը համեմատական է դեֆորմացիային.

որտեղ  առաձգական ուժի պրոյեկցիան է x առանցքի վրա, k-ն զսպանակի կոշտությունն է, իսկ բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ  ուղղված է x դեֆորմացիային հակառակ: Ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի` դեֆորմացնող ուժը ըստ մոդուլի հավասար է առաձգականության ուժին և ուղղված է նրան հակառակ, այսինքն`

ուժով կատարված տարրական dA աշխատանքն ավերջ փոքր dx դեֆորմացիայի դեպքում`

իսկ լրիվ աշխատանքը`

ծախսվում է զսպանակի պոտենցիալ էներգիայի մեծացման վրա: Այսպիսով, առաձգական դեֆորմացված մարմնի պոտենցիալ էներգիան`

Համակարգի պոտենցիալ էներգիան համակարգի վիճակի ֆունկցիա է: Այն կախված է համակարգի կոնֆիգուրացիայից և արտաքին մարմինների նկատմամբ ունեցած նրա դիրքից:

Համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան հավասար է կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների գումարին` E=T+U:

Խնդիր 1: Ուժային դաշտում գտնվող մասնիկի պոտենցիալ էներգիայի կախումը կոորդինատներից ունի հետևյալ տեսքը  որտեղ  Որոշել մասնիկի վրա ազդող ուժի մոդուլը (2,1,1)մ կոորդինատներով կետում:

Լուծում: Օգտվենք մասնիկի վրա ազդող ուժի և պոտենցիալ էներգիայի կապից.

Ուժի վեկտորը`

(2)-ից ուժի մոդուլի համար կստանանք հետևյալ արտահայտությունը`

>>

3.3. ՄԵԽԱՆԻԿԱԿԱՆ ԷՆԵՐԳԻԱՅԻ ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔԸ

Էներգիայի պահպանման օրենքը բազմաթիվ փորձերի տվյալների ընդհանրացումների արդյունք է: Այս օրենքի գաղափարը պատկանում է Մ. Լոմոնոսովին (1711-1765), շարադրելով էներգիայի և մատերիայի շարժման պահպանման օրենքը, իսկ էներգիայի պահպանման օրենքի քանակական ձևակերպումը տրվել է գերմանացի բժիշկ Մայերի (1814-1878) և գերմանացի բնագետ Գ. Հելմոլցի (1821-1894) կողմից:

Քննարկենք զանգվածներով նյութական կետերի համակարգ, որոնք շարժվում են արագություններով: Դիցուք ներքին կոնսերվատիվ ուժերի արդյունարարներն են, որոնք ազդում են այդ կետերից յուրաքանչյուրի վրա, իսկ արտաքին ուժերի արդյունարարներն են, որոնք նույնպես ընդունում ենք, որ կոնսերվատիվ են: Բացի դրանից, ընդունում ենք, որ նյութական կետերի վրա ազդում են ոչ կոնսերվատիվ արտաքին ուժեր: Այդ ուժերի արդյունարարները, որոնք ազդում են նյութական կետերից յուրաքանչյուրի վրա, նշանակենք

 Քանի որ v<<c դեպքում նյութական կետերի զանգվածները հաստատուն են, այդ կետերի համար գրենք Նյուտոնի երկրոդ օրենքի հավասարումները`

Համակարգի նյութական կետերը ուժերի ազդեցության տակ dt ժամանակի ընթացքում կատարում են համապատասխանաբար հավասար տեղափոխություններ: Բազմապատկելով հավասարումներից յուրաքանչյուրը սկալյարորեն համապատասխան տեղափոխությամբ և հաշվի արնելով, որ կստանանք`

Գումարելով այս հավասարումները կստանանք`

 (3.12) հավասարման ձախ մասի առաջին գումարելին`

որտեղ dT-ն համակարգի կինետիկ էներգիայի աճն է:

Երկրորդ գումարելին`  հավասար է ներքին և արտաքին կոնսերվատիվ ուժերի տարրական աշխատանքին, վերցրած «-» նշանով, այսինքն` հավասար է համակարգի տարրական պոտենցիալ էներգիայի dU աճին:

 (3.12) հավասարության աջ մասը տալիս է համակարգի վրա ազդող արտաքին ոչ կոնսերվատիվ ուժերի աշխատանքը: Այսպիսով, կունենանք`

Համակարգի 1 վիճակից 2 վիճակին անցման դեպքում`

Այսինքն` համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիայի փոփոխությունը մի վիճակից մյուսին անցման դեպքում հավասար է արտաքին ոչ կոնսերվատիվ ուժերի կատարած աշխատանքին: Եթե արտաքին ոչ կոնսերվատիվ ուժերը բացակայում են, ապա (3.13) -ից հետևում է.

որտեղից

Այսինքն համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան մնում է հաստատուն: (3.14)-ը արտահայտում է մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը. միմյանց վրա միայն կոնսերվատիվ ուժերով ազդող մարմիններից բաղկացած փակ համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան մնում է հաստատուն, այսինքն` ժամանակի ընթացքում չի փոփոխվում:

Մեխանիկական համակարգերը, որոնց մարմինների վրա ազդում են միայն կոնսերվատիվ (արտաքին և ներքին ուժեր), կոչվում են կոնսերվատիվ համակարգեր: Մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ. Կոնսերվատիվ համակարգերում լրիվ մեխանիկական էներգիան պահպանվում է:

Էներգիայի պահպանման օրենքը կարելի է ստանալ նաև` օգտվելով ժամանակի համասեռության հատկությունից:

Ժամանակի համասեռություն նշանակում է, որ ժամանակի տարբեր պահերին, եթե փակ համակարգի բոլոր մարմինները դնենք նույն պայմանների մեջ, սկսած այդ պահից բոլոր երևույթները կընթանան նույն ձևով:

Մեխանիկայից փոխ վերցնենք Նյուտոնի երկրորդ օրենքի այն հետևանքը, որ համազոր ուժի կատարած աշխատանքը հավասար է նրա կինետիկ էներգիայի փոփոխությանը.

Մեր հետագա դատողությունները կկատարենք մեկ նյութական կետի համար:

Նյութական կետերի համակարգի դեպքում ամեն ինչ կլինի նույն ձևով, միայն կփոխվի այն արգումենտների թիվը, որոնցից կախված է պոտենցիալային ֆունկցիան: Ընդհանուր դեպքում փոփոխվող պոտենցիալային դաշտում  Նյութական կետի վրա ազդող ուժերի աշխատանքը, երբ այն ինչ-որ հետագծով տեղափոխվում է 1 դիրքից 2 դիրքը, կարտահայտվի հետևյալ ինտեգրալով՝

Ձևափոխենք այս արտահայտությունը՝ գումարելով և հանելով  կստանանք՝

որտեղ

dU-ն կլինի լրիվ դիֆերենցիալ:

Ինտեգրելուց հետո կունենանք՝

Ստացված արտահայտությունը ճիշտ է նաև նյութական կետերի համակարգի համար: Այժմ օգտվենք համակարգի փակության պայմանից և ժամանակի համասեռության հատկությունից: Եթե համակարգը փակ է, և ժամանակը՝ համասեռ, ապա պոտենցիալ էներգիան ժամանակից բացահայտ կախված լինել չի կարող և Արդյունքում՝

Այսինքն, փակ կոնսերվատիվ համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան մնում է անփոփոխ:

Եթե փակ համակարգի կոնսերվատիվ ուժերից բացի, գործում են նաև ոչ կոնսերվատիվ ուժեր, օրինակ, շփման ուժերը, ապա համակարգի լրիվ մեխանիկական էներգիան չի պահպանվում: Ոչ կոնսերվատիվ ուժերը դիտելով որպես արտաքին ուժեր, կարելի է գրել՝

որտեղ A_{ոչ կոն.}-ը ոչ կոնսերվատիվ ուժերի կատարած աշխատանքն է:

Շփման ուժերը հիմնականում կատարում են բացասական աշխատանք: Ուստի, փակ համակարգում շփման ուժերի դեմ կատարված աշխատանքը ժամանակի ընթացքում հանգեցնում է նրա լրիվ մեխանիկական էներգիայի փոքրացմանը և փոխարկմանը և ոչ մեխանիկական էներգիայի ձևերին: Այս դեպքում առկա է էներգիայի պահպանման ավելի ընդհանուր հետևյալ օրենքը. ցանկացած արտաքին ազդեցություններից մեկուսացված համակարգի բոլոր ձևերի էներգիաների (ներառյալ նաև ոչ մեխանիկական) գումարը մնում է հաստատուն:

Դիտարկենք էներգիայի և իմպուլսի պահպանման օրենքների համատեղ կիրառության վերաբերյալ խնդիրների լուծման օրինակներ:

Խնդիր 1: Նույն m զանգվածն ունեցող երկու առաձգական գնդեր կրում են ոչ կենտրոնական հարված: Հարվածից առաջ առաջին գնդի արագությունը  է, երկրորդ գնդինը՝ 0 (անշարժ է), իսկ հարվածից հետո համապատասխանաբար՝ Ցույց տալ, որ հարվածից հետո (նկ.1.) գնդերը կթռչեն իրար նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ: Էներգիայի կորուստը և պտույտն անտեսել:

Լուծում: Քանի որ էներգիայի կորուստ չկա, ապա այդպիսի համակարգի համար գործում է ինչպես մեխանիկական էներգիայի պահպանման, այնպես էլ իմպուլսի պահպանման օրենքները:

Հաշվի առնելով այն, որ բացարձակ առաձգական հարվածից անմիջապես հետո մարմինների պոտենցիալ էներգիաները գրեթե նույնն մնում են և փոխվում են միայն կինետիկ էներգիաները, կարող ենք գրել՝

կամ

Քանի որ վեկտորական գումարն է, ապա նրա մոդուլը կորոշվի կոսինուսների թեորեմով՝

որտեղ (3.23) և (3.24) հավասարումների համեմատումից հետևում է, որ  բայց, քանի որ  հետևաբար

Խնդիր 2: m զանգվածով գնդիկը թռչում է դեպի հանգստի վիճակում գտնվող M զանգվածով գնդիկը: Ինչպե՞ս է կախված գնդիկների զանգվածների հարաբերությունից այն էներգիան, որը կորցնում է թռչող գնդիկն առաձգական հարվածի դեպքում:

Լուծում: Թռչող գնդիկի արագությունը մինչև հարվածը նշանակենք  հարվածից հետո՝  դադարի վիճակում գտնվող գնդիկի արագությունը հարվածից հետո՝

Օգտվելով էներգիայի և իմպուլսի պահպանման օրենքներից` կարող ենք գրել.

Համատեղ լուծելով այս համակարգը, կստանանք՝ որտեղ գնդիկների զանգվածների հարաբերությունն է:

Գտնենք M զանգվածով գնդիկին հաղորդված էներգիան.

Քանի որ թռչող գնդիկի սկզբնական էներգիան է,ապա

Հետազոտենք ստացված արտահայտությունը: Ակնհայտ է, որ երբ Քանի որ ֆունկցիան անընդհատ է, ապա k-ի որոշակի արժեքի դեպքում այն կունենա առավելագույն արժեք:

E-ի առաջին կարգի ածանցյալը հավասարեցնելով զրոյի` լուծում ենք ստացված հավասարումը և գտնում նրա արմատը՝ k=1: Հետևաբար, թռչող գնդիկը կորցնում է իր կինետիկ էներգիայի առավելագույն մասը՝ նույն զանգվածով գնդիկին հարվածելիս: E(k) կախվածության գրաֆիկը ցույց է տրված նկ.3.3-ում:

Այստեղից պարզ է, որ նեյտրոնների շարժումը դանդաղեցնելու նրանցից էներգիայի հնարավոր առավելագույն մասը խլելու համար անհրաժեշտ է, որ նեյտրոնները հարվածի ենթարկվեն իրենց զանգվածին մոտ զանգվածներով ատոմների, ավելի լավ է` ջրածնի ատոմների միջուկների կողմից: Այդ պատճառով էլ նեյտրոններից պաշտպանվելու նպատակով օգտագործում են ջրածին պարունակող նյութեր:

(3.27) բանաձևը հնարավորություն է տալիս հասկանալ այն հիմնական դժվարություններից մեկը, որին բախվում է կառավարվող ջերմամիջուկային սինթեզի իրականացումը: Որպեսզի այդպիսի սինթեզը հնարավոր դառնա, դեյտերիումի կամ դեյտերիումտրիտիումի պլազման պետք է տաքացված լինի մինչև մի քանի հարյուր միլիոն Կելվին (10⁸-10⁹ Կ): Համապատասխան էներգիա պետք է ունենան դեյտերիումի և տրիտիումի իոնները: Լիցքավորված մարմինների էներգիայի մեծացման ամենահասարակ միջոցը նրանց վրա էլեկտրական դաշտով ազդելն է: Բայց այդ դեպքում գործնականում ամբողջ էներգիան կլանվում է ազատ վազքի մեծ երկարություն ունեցող էլեկտրոնների կողմից: Իհարկե, էլեկտրոնների և իոնների էներգիաները հետագայում պետք է աստիճանաբար հավասարվեն: Սակայն զանգվածների մեծ տարբերության պատճառով յուրաքանչյուր հարվածի ժամանակ էլեկտրոնն իոնին հաղորդում է շատ փոքր էներգիա, այդ իսկ պատճառով ջերմային հավասարակշռության հաստատման ժամանակը շատ ավելի մեծ է, քան պլազմայի պահպանման ժամանակը:

>>

3.4 ՄԱՐՄԻՆՆԵՐԻ ԲԱՑԱՐՁԱԿ ԱՌԱՁԳԱԿԱՆ ԵՎ ԲԱՑԱՐՁԱԿ ՈՉ ԱՌԱՁԳԱԿԱՆ ՀԱՐՎԱԾ

Հարված (կամ բախում) է կոչվում երկու կամ ավելի մարմինների հարվածը, որի դեպքում փոխազդեցությունն կարճատև է: Առավել հետաքրքրություն են ներկայացնում բացարձակ առաձգական և բացարձակ ոչ առաձգական բախումները:

Այն ուղիղը, որն անցնում է մարմինների հպման կետով և ուղղահայաց է նրանց հպման մակերևույթներին, կոչվում է հարվածի գիծ: Հարվածը կոչվում է կենտրոնական, եթե մարմինները մինչև բախումը շարժվում են այն ուղղի երկայնքով, որն անցնում է նրանց զանգվածների կենտրոնով: Այստեղ դիտարկվելու են միայն կենտրոնական բացարձակ առաձգական և բացարձակ ոչ առաձգական հարվածները:

Բացարձակ առաձգական է կոչվում այն հարվածը, որի դեպքում մարմինների մեխանիկական էներգիայի կորուստ տեղի չի ունենում, և բախվող մարմինների ներքին էներգիան մնում է անփոփոխ: Այսպիսի հարվածի դեպքում կինետիկ էներգիան լրիվ կամ մասնակի փոխարկվում է առաձգական դեֆորմացիայի պոտենցիալ էներգիայի: Այնուհետև, մարմիններն իրար հրելով` նորից ստանում են իրենց սկզբնական ձևը:

Բախվող մարմինների միջև փոխազդեցության ուժերը (հարվածային կամ ակնթարթային ուժերը) այնքան մեծ են, որ նրանց վրա ազդող արտաքին ուժերը կարելի է անտեսել: Դա թույլ է տալիս բախման պրոցեսում մարմինների համակարգը դիտարկել որպես մոտավորապես փակ համակարգ և նրա համար կիրառել պահպանման օրենքները:

զանգվածներով գնդերի արագությունները մինչև հարվածը նշանակենք հարվածից հետո` (նկ.3.3): Կենտրոնական ուղիղ հարվածի դեպքում գնդերի արագությունների վեկտորները մինչև հարվածը և հարվածից հետո ընկած են նրանց կենտրոնները միացնող ուղղի վրա: Արագությունների վեկտորների պրոյեկցիաները այդ ուղղի վրա հավասար են արագությունների մոդուլներին: Նրանց ուղղությունները հաշվի կառնենք նշաններով. դրական արժեք կվերագրենք աջ շարժվողին, բացասական` ձախ շարժվողին:

Նշված ենթադրությունների դեպքում պահպանման օրենքները կունենան հետևյալ տեսքը.

Կատարելով համապատասխան ձևափոխություններ (3.15) և (3.16) արտահայտություններում կստանանք`

որտեղից

Լուծելով (3.17) և (3.19) հաասարումները, կգտնենք`

Վերլուծենք (3.22) և (3.23) արտահայտությունները տարբեր զանգվածներով երկու գնդերի համար.

Առաջին գունդը շարունակում է շարժվել այն ուղղությամբ, ինչ, որ մինչև հարվածը, բայց փոքր արագությամբ Հարվածից հետո երկրորդ գնդի արագությունն ավելի հետո մեծ է, քան առաջին գնդինը (նկ.3.4):

Առաջին գնդի շարժման ուղղությունը հարվածի դեպքում փոխվում է, գունդը ետ է թռչում: Երկրորդ գունդը շարժվում է նույն կողմը, ուր շարժվում էր առաջին գունդը մինչև հարվածը, բայց փոքր արագությամբ, այսինքն`  (նկ.3.5):

(օրինակ, գնդի բախումը պատի հետ): (3.22) և (3.23) հետևում է, որ

2.  դեպքում (3.20) և (3.21) արտահայտություններից ստանում ենք`

այսինքն` հավասար զանգվածներով գնդերը փոխանակում են արագությունները:

Մարմինների բախումը կոչվում է բացարձակ ոչ առաձգական, եթե միմյանց հետ բախվելուց հետո մարմինները միանում են իրար, այնուհետև շարժվում են որպես մի ամբողջություն:

Բացարձակ ոչ առաձգական հարվածը բնորոշ է նրանով, որ այս դեպքում դեֆորմացիայի պոտենցիալ էներգիա չի առաջանում, մարմինների կինետիկ էներգիան լրիվ կամ մասամբ փոխարկվում է ներքին էներգիայի: Հարվածից հետո մարմինները շարժվում են նույն արագությամբ կամ մնում են հանգստի վիճակում: Բացարձակ ոչ առաձգական հարվածի դեպքում առկա է միայն իմպուլսի պահպանման օրենքը, իսկ մեխանիկական էներգիայի պահպանման օրենքը տեղի չի ունենում. առկա է տարբեր տեսակների` մեխանիկական և ներքին էնեգիաների գումարի պահպանման օրենքը:

Բացարձակ ոչ առաձգական հարվածը կարելի է ցուցադրել պլաստիլինից պատրաստված գնդերի օգնությամբ, որոնք շարժվում են իրար ընդառաջ (նկ.3.6): Եթե գնդերի զանգվածները  է, իսկ արագությունները մինչև հարվածը`  օգտագործելով իմպուլսի պահպանման օրենքը, կարելի է գրել`

որտեղ գնդերի շարժման արագությունն է հարվածից հետո: Այդ դեպքում

Եթե գնդերը շարժվում են իրար ընդառաջ, դրանք միմյանց հետ կշարունակեն շարժվել այն կողմը, որ կողմը շարժվում էր մեծ իմպուլսով օժտված գունդը: Մասնավոր դեպքում, եթե գնդիկների զանգվածները հավասար են,

Պարզենք, թե ինչպես է փոխվում գնդերի կինետիկ էներգիան կենտրոնական բացարձակ ոչ առաձգական հարվածի դեպքում: Քանի որ գնդերի փոխհարվածի պրոցեսում նրանց միջև ազդող ուժեր կան, որոնք կախված են ոչ թե գնդերի դեֆորմացիաներից, այլ` արագություններից, ուստի մենք գործ ունենք այնպիսի ուժերի հետ, որոնք համանման են շփման ուժերին, դրա համար էլ մեխանիկական էներգիան չպետք է պահպանվի: Դեֆորմացիայի հետևանքով տեղի է ունենում կինետիկ էներգիայի «կորուստ», փոխարկվելով ջերմային կամ այլ տեսակի էներգիաների: Էներգիայի այդ «կորուստը» կարելի է որոշել մինչև հարվածը և հարվածից հետո մարմինների կինետիկ էներգիաների տարբերությամբ.

Օգտագործելով (3.24) -ը, կստանանք`

Եթե հարվածվող մարմինը սկզբում անշարժ էր ուրեմն`

Երբ (անշարժ մարմնի զանգվածը շատ մեծ է), ապա և մարմնի համարյա ամբողջ կինետիկ էներգիան անցնում է էներգիայի այլ ձևերի: Այդ նպատակով էլ, օրինակ, նշանակալից դեֆորմացիա ստանալու համար զնդանը պետք է մուրճից ավելի զանգվածեղ լինի: Ընդհակառակը, մեխը պատի մեջ խփելու դեպքում մուրճի զանգվածը շատ ավելի մեծ պետք է լինի այդ դեպքում  և գործնականորեն ամբողջ էներգիան ծախսվում է մեխի հնարավոր մեծ տեղափոխության, և ոչ թե պատի մնացորդային դեֆորմացիայի վրա: Բացարձակ ոչ առաձգական հարվածը օրինակն է այն երևույթի, թե ինչպես է տեղի ունենում մեխանիկական էներգիայի «կորուստը» դիսսիպատիվ ուժերի ազդեցության տակ:

>>

ԳԼՈՒԽ 4. ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ ՊՏՏԱԿԱՆ ՇԱՐԺՄԱՆ

 ԴԻՆԱՄԻԿԱ

Ինչպես հայտնի է, պինդ մարմնի մեխանիկական շարժումը կարելի է պատկերացնել համընթաց և պտտական համակցված շարժումների միջոցով: Քանի որ համընթաց շարժման դեպքում մարմնի բոլոր կետերը կատարում են միատեսակ շարժում, ապա տվյալ հաշվարկման XYZ համակարգի նկատմամբ մարմնի համընթաց շարժումը կարելի է նկարագրել նրա որևէ կետի կոորդինատների՝ ժամանակից կախումն արտահայտող x=x(t), y=y(t) և z=z(t) հավասարումներով (նկ.4.1):

O կետի շուրջը մարմնի պտտական շարժումը նկարագրվում է այդ կետով տարված OX, OY, OZ առանցքների շուրջը մարմնի պտտման անկյունների՝ ժամանակից կախումն արտահայտող հավասարումներով, որոնք x=x(t), y=y(t), z=z(t) հավասարումների հետ միասին կազմում են մարմնի շարժման հավասարումների լրիվ համակարգը (նկ.4.2):

 Յուրաքանչյուր OX, OY և OZ առանցքի շուրջը մարմնի պտտական շարժումը նկարագրվում է այն նույն կինեմատիկական մեծություններով, որոնց միջոցով նկարագրվում է կետի շարժումը շրջանագծով` անկյուններով,  անկյունային արագություններով, անկյունային արագացումներով, պտտման հաճախությամբ և պարբերությամբ: Այդ մեծությունները միատեսակ են պինդ մարմնի բոլոր կետերի համար:

 Քննարկենք մեկ անշարժ առանցքի շուրջը մարմնի պտտական շարժումն առաջացնող գործոնը:

>>

4.1. ՈՒԺԻ ՄՈՄԵՆՏԸ ԿԵՏԻ ԵՎ ԱՌԱՆՑՔԻ ՆԿԱՏՄԱՄԲ:

ՆՅՈՒԹԱԿԱՆ ԿԵՏԻ ԻՄՊՈՒԼՍԻ ՄՈՄԵՆՏԸ ԿԵՏԻ և ԱՌԱՆՑՔԻ ՆԿԱՏՄԱՄԲ: ՈՒԺԱԶՈՒՅԳ

Մեխանիկայի հիմնական օրենքները կապված են ուժի մոմենտ և իմպուլսի մոմենտ հասկացությունների հետ: Հարկավոր է տարբերել այդ վեկտորների մոմենտները կետի ու առանցքի նկատմամբ և երբեք չշփոթել միմյանց հետ: Վեկտորի մոմենտը կետի նկատմամբ և առանցքի նկատմամբ տարբեր հասկացություններ են, չնայած` դրանք փոխկապակցված են: Վեկտորի մոմենտը կետի նկատմամբ ինքը վեկտոր է: Նույն վեկտորի մոմենտը առանցքի նկատմամբ, կետի նկատմամբ իր մոմենտի պրոյեկցիան է նույն առանցքի վրա: Այսպիսով, վեկտորի մոմենտն առանցքի նկատմամբ արդեն վեկտոր չէ: Սկսենք մոմենտների դիտարկումը կետի նկատմամբ: Դիցուք O-ն որևէ կետ է, որի նկատմամբ դիտարկվում է ուժի վեկտորի և իմպուլսի վեկտորի մոմենտը: Այն կոչվում է սկիզբ կամ բևեռ:

Եթե նյութական կետի վրա ազդում է  ուժ, ապա O կետի նկատմամբ ուժի մոմենտ է կոչվում շառավիղ-վեկտորի և  ուժի վեկտորական արտադրյալը (նկ. 4.3ա):

Նկարից երևում է, որ ուժի մոմենտի մոդուլը կարելի է ներկայացնել

տեսքով, որտեղ ուժի բազուկն է O կետի նկատմամբ:                        

պրոյեկցիան որևէ z առանցքի վրա, որն անցնում է O կետով և որի նկատմամբ որոշվում է  կոչվում է ուժի մոմենտ այդ առանցքի նկատմամբ (նկ.4.3բ).

Եթե ապա վեկտորական արտադրյալի հայտնի հատկության հիման վրա կարելի է գրել.

Այստեղից հետևում է, որ երկու կամ մի քանի ուժերի արդյունարար մոմենտը O կետի նկատմամբ հավասար է բաղադրիչ ուժերի մոմենտների երկրաչափական գումարին նույն O կետի նկատմամբ:

Դիցուք զանգվածով նյութական կետը շարժվում է O կետի շուրջը: Նյութական կետի O կետի նկատմամբ իմպուլսի մոմենտ է կոչվում  շառավիղ-վեկտորի և իմպուլսի վեկտորական արտադրյալը (նկ.4.4ա)

Քանի որ  վեկտորն ուղղահայաց է կազմված հարթությանը, ուստի նրա հաստատուն լինելը նշանակում է, որ շարժումը տեղի է ունենում միշտ նույն հարթությունում:  վեկտորը սովորական  վեկտորներից տարբերվում է: Այս վեկտորները բևեռային են, այսինքն` ունեն կիրառման կետ (ինչպես ասում են բևեռ ունեն): Իսկ իմպուլսի մոմենտը, որը որոշվում է երկու վեկտորների օգնությամբ, կիրառման կետ ունենալ չի կարող: Այդպիսի վեկտորները, ինչպես  բնութագրվում են նրանով, որ դրանց սկզբները կարելի է տեղափոխել վեկտորի ուղղությամբ: Այդպիսի վեկտորները, որոնք որոշակի կիրառման կետ չունեն, կոչվում են սահող կամ աքսիալ:

(4.5) վեկտորի պրոյեկցիան որևէ z առանցքի վրա, կոչվում է նյութական կետի իմպուլսի մոմենտ այդ առանցքի նկատմամբ (նկ.4.4բ).                        

Նկար 4.4ա-ից երևում է, որ նյութական կետի իմպուլսի մոմենտի մոդուլը`

որտեղ կետից ուղղի վրա իջեցրած ուղղահայացի երկարությունն է, որի երկայնքով ուղղված է մասնիկի իմպուլսը: Այդ երկարությունը կոչվում է O կետի նկատմամբ իմպուլսի բազուկ:

Ուժազույգ է կոչվում մեծությամբ իրար հավասար և հակառակ ուղղված երկու ուժեր, որոնք չեն ազդում միևնույն ուղղի երկայնքով (նկ.4.5):

Այն ուղիղների միջև եղած հեռավորությունը, որոնց երկարությամբ ազդում են ուժերը, կոչվում է ուժազույգի բազուկ: Ուժազույգ կազմող ուժերի արդյունարար մոմենտը`

Նկատի ունենալով, որ  կարելի է գրել`

որտեղ  մի վեկտոր է, որը տարված է  ուժի կիրառման կետից  ուժի կիրառման կետը: (4.8) արտահայտությունը կախում չունի O կետի ընտրությունից, հետևաբար, ուժազույգի մոմենտը ցանկացած կետի նկատմամբ մնում է նույնը: Այսպիսով, ուժազույգի մոմենտն ուղղահայաց է այն հարթությանը, որի վրա գտնվում են ուժերը, և թվապես հավասար է այդ ուժերից մեկի մոդուլի և բազկի արտադրյալին:

Իմպուլսի մոմենտի և ուժի մոմենտի հասկացությունների ներմուծման նպատակահարմարությունն արդարացվում է նրանով, որ դրանք կապված են իրար հետ կարևոր առնչությամբ, որն այժմ կարտածենք` օգտվելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքից:

Ենթադրում ենք, որ O կետն անշարժ է: Դիֆերենցելով (4.5)-ը ըստ ժամանակի` կստանանք

Քանի որ, ըստ ենթադրության, O կետն անշարժ է, ապա  ածանցյալը նյութական կետի արագությունն է, որը կապված է նրա իմպուլսի հետ  առնչությամբ: Ուստի, առաջին գումարելին հավասար է զրոյի, որպես երկու  միագիծ վեկտորների վեկտորական արտադրյալ: Երկրորդ գումարելին կարելի է ձևափոխել Նյուտոնի հավասարման օգնությամբ, այն է  Այդ դեպքում կստացվի

Այս առնչությունն էլ հենց մենք ուզում էինք ստանալ: Վերջինից հետևում է, որ O կետի նկատմամբ նյութական կետի իմպուլսի մոմենտի ածանցյալն ըստ ժամանակի հավասար է այդ կետի նկատմամբ նյութական կետի վրա ազդող ուժի մոմենտին: Սա Նյուտոնի երկրորդ օրենքի գրության այլ ձև է պտտական շարժման համար: Այն կոչվում է նաև մոմենտների հավասարում: Միանգամայն պարզ է, որ եթե մեկ նյութական կետի վրա ազդող ուժի մոմենտը O կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի, ապա նյութական կետի իմպուլսի մոմենտը O կետի նկատմամբ կմնա հաստատուն:

Արտածման դեպքում չենթադրվեց, որ m զանգվածը մնում է հաստատուն: Ուստի, (4.8) հավասարումը ճիշտ է նաև ռելյատիվիստական մեխանիկայում, այն է` նյութական կետի այնպիսի մեծ արագությունների դեպքում, որը թույլատրվում է հարաբերականության տեսությամբ:

(4.8) մոմենտների հավասարումը կարելի է ընդհանրացնել նյութական կետերի կամայական համակարգի դեպքի համար: Նյութական կետերի համակարգի իմպուլսի մոմենտ O կետի նկատմամբ կոչվում է համակարգի բոլոր նյութական կետերի իմպուլսների մոմենտների վեկտորական գումարը նույն O կետի նկատմամբ: Համանմանորեն, բոլոր ուժերի մոմենտը, որն ազդում է նյութական կետերի համակարգի վրա, որոշվում է որպես առանձին ուժերի մոմենտների վեկտորական գումար: Բոլոր ուժերի մոմենտները գումարելու փոխարեն, նկատի ունենալով (4.4) առնչությունը, կարելի է գտնել այդ ուժերի արդյունարարը, այնուհետև հաշվել նրա մոմենտը: Այդպես կարելի է վարվել նաև նյութական կետերի համակարգի իմպուլսը գտնելու դեպքում. սկզբում վեկտորապես գումարել բոլոր նյութական կետերի իմպուլսները, այնուհետև գտնել դիտարկվող կետի նկատմամբ ստացված վեկտորի մոմենտը:

Ենթադրենք O բևեռն անշարժ է: Գրենք մոմենտների հավասարումը յուրաքանչյուր նյութական կետի համար, այնուհետև դրանք վեկտորապես գումարենք: Կրկին հանգում ենք (4.8) առնչությանը, սակայն` արդեն նյութական կետերի համակարգի համար: Այդ դեպքում տակ պետք է հասկանալ, ինչպես արտաքին, այնպես էլ ներքին բոլոր ուժերի մոմենտը: Սակայն ներքին ուժերին չպետք է ուշադրություն դարձնել, քանի որ ցանկացած կետի նկատմամբ նրանց լրիվ մոմենտը հավասար է զրոյի: Դա բացատրվում է նրանով, որ ներքին ուժերը միշտ հանդես են գալիս զույգ-զույգ ուժին, որով k-րդ նյութական կետն ազդում է i-րդ կետի վրա, համապատասխանում է հավասար և հակառակ ուղղված  ուժը, որով i-րդ կետն ազդում է k-րդի վրա: Այդ երկու ուժերն ուղղված են միևնույն ուղղի երկայնքով: Մոմենտները հաշվելիս, դրանց կիրառման կետերը կարելի է տեղափոխել այդ ուղղի վրա` միևնույն կետը: Արդյունքում ուժերը փոխադարձաբար իրար կոմպենսացնում են, իսկ դրանց արդյունարար մոմենտը հավասարվում է զրոյի:

Այսպիսով Նյուտոնի երրորդ օրենքը հնարավորություն է տալիս (4.8) հավասարումից բացառել ներքին ուժերը: (4.8) հավասարման փոխարեն ստացվում է ՝

Այսինքն` կամայական անշարժ կետի նկատմամբ նյութական կետերի համակարգի իմպուլսի մոմենտի ածանցյալն ըստ ժամանակի հավասար է նույն կետի նկատմամբ բոլոր արտաքին ուժերի մոմենտների երկրաչափական գումարին:

Վեկտորական (4.9) հավասարումը համարժեք է երեք սկալյար հավասարումների.

որոնք ստացվում են (4.9) հավասարումից, դեկարտյան կոորդինատային համակարգի անշարժ առանցքների վրա պրոյեկտման ճանապարհով:

 Ինդեքս «արտ»-ը ցույց է տալիս, որ ուժերի մոմենտները հաշվելիս ներքին ուժերին կարելի է ուշադրություն չդարձնել:

Այսպիսով, մոմենտների հավասարման մեջ տակ միշտ պետք է նկատի ունենալ արտաքին ուժերի մոմենտը:  մեծությունները համապատասխանաբար կոչվում են իմպուլսի մոմենտ և ուժի մոմենտ X-երի առանցքի նկատմամբ: Նույնն ասում են իմպուլսի և ուժի մոմենտների մասին Y և Z կոորդինատային առանցքների նկատմամբ: Ընդհանրապես,  իմպուլսի և ուժի մոմենտները կամայական X-երի առանցքի նկատմամբ անվանում են վեկտորների պրոյեկցիաներ այդ առանցքի վրա, ենթադրելով, որ O բևեռը գտնվում է դիտարկվող առանցքի վրա.

(4.11) հավասարումը կոչվում է մոմենտների հավասարում անշարժ X առանցքի նկատմամբ:

>>

4.2. ՊՏՏԱԿԱՆ ՇԱՐԺՄԱՆ ԴԻՆԱՄԻԿԱՅԻ ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄԸ

Դիտարկենք պտտական շարժումը՝ կիրառելով առանցքի նկատմամբ մոմենտների հավասարումը: Որպես մոմենտների անշարժ առանցք հարմար է ընտրել պտտման առանցքը: Եթե նյութական կետը պտտվում է r շառավիղ ունեցող շրջանագծով (նկ.4.6), ապա նրա իմպուլսի մոմենտը O առանցքի նկատմամբ կլինի L=mvr:

Եթե պտտման անկյունային արագությունն է, ապա  և, հետևաբար,  Եթե O կետի շուրջը պտտվում է նյութական կետերի համակարգ միևնույն անկյունային արագությամբ, ապա որտեղ գումարումը կատարվում է ըստ համակարգի բոլոր նյութական կետերի: Քանի որ,մեծությունը բոլոր նյութական կետերի համար նույնն է, ապա այն կարելի է դուրս բերել գումարի նշանի տակից: Այդ դեպքում կստանանք՝

որտեղ

I մեծությունը, որը հավասար է նյութական կետերի զանգվածների և պտտման առանցքից նրանց ունեցած հեռավորությունների քառակուսիների արտադրյալների գումարին, կոչվում է առանցքի նկատմամբ համակարգի իներցիայի մոմենտ:

 (4.12) հավասարումը ցույց է տալիս, որ համակարգի պտտման դեպքում նրա իմպուլսի մոմենտը պտտման առանցքի նկատմամբ հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ իներցիայի մոմենտի և անկյունային արագության արտադրյալին:

Եթե նյութական կետերի համակարգի պտտական շարժման վրա վերադրվում է նրանց շառավղային, ինչպես նաև առանցքին զուգահեռ շարժումը, ապա այդպիսի շարժումների առկայությունը չի անդրադառնում (4.12) բանաձևի ճշտության վրա: Դա բխում է նրանից, որ նյութական կետի իմպուլսի մոմենտն իր  արագությունից կախված է գծայնորեն: Երբ  արագությունն ուղղված է շառավղով կամ զուգահեռ է պտտման առանցքին, այդ առանցքի նկատմամբ իմպուլսի մոմենտը հավասար է զրոյի: Հետևաբար, այդպիսի շարժումներն անմիջականորեն չեն ազդի պտտման առանցքի նկատմամբ համակարգի իմպուլսի և նրա անկյունային արագության միջև եղած կապի տեսքի վրա: Դրանց ազդեցությունն ուղղակի է, այսինքն` I իներցիայի մոմենտը դադարում է հաստատուն մեծություն լինելուց և փոխվում է ժամանակի ընթացքում համակարգի կոնֆիգուրացիայի ակնթարթային փոփոխությանը համապատասխան: Այս դեպքում (4.11) հավասարումը կընդունի հետևյալ տեսքը.                       

որտեղ M-ը արտաքին ուժերի մոմենտն է առանցքի նկատմամբ: (4.14)-ը անշարժ առանցքի շուրջը պտտական շարժման դինամիկայի հիմնական հավասարումն է: Այն հիշեցնում է նյութական կետի շարժման համար Նյուտոնի հավասարումը: Զանգվածի դերը կատարում է I իներցիայի մոմենտը, արագության դերը՝ անկյունային արագությունը, ուժի դերը՝ M ուժի մոմենտը, իմպուլսի դերը՝ L իմպուլսի մոմենտը:

Համընթաց և պտտական շարժումների գրառման համանմանությունները բերված են աղյուսակ 1-ում:

Հաճախ L իմպուլսի մոմենտն անվանում են համակարգի պտտական իմպուլս: Օգտվելով այս տերմինաբանությունից` կարելի է ասել, որ համակարգի պտտական իմպուլսի ածանցյալն ըստ ժամանակի հավասար է պտտման առանցքի նկատմամբ արտաքին ուժերի մոմենտին:

Եթե պտտման առանցքի նկատմամբ արտաքին ուժերի M մոմենտը հավասար է զրոյի, ապա  պտտական իմպուլսը պահպանվում է:

Կարևոր մասնավոր դեպք է նյութական կետերի չփոփոխվող համակարգի կամ պինդ մարմնի պտույտն անշարժ առանցքի շուրջը: Այս դեպքում I իներցիայի մոմենտը պտտման ժամանակ մնում է հաստատուն և (4.14) հավասարումն ընդունում է հետևյալ տեսքը.

Այսինքն` պտտման անշարժ առանցքի նկատմամբ պինդ մարմնի իներցիայի մոմենտի և  անկյունային արագացման արտադրյալը հավասար է նույն առանցքի նկատմամբ արտաքին ուժերի մոմենտին:

Հարկ է մեկ անգամ ևս նշել, որ ի տարբերություն  բևեռային վեկտորների, որոնք ունեն իրենց կիրառման կետը, առանցքային սահող վեկտորներ են, այսինքն, դրանց սկիզբը կարելի է տեղափոխել վեկտորի ուղղության հետ համընկնող առանցքի երկայնքով: Այս վեկտորների ուղղությունները որոշվում են աջ պտուտակի կանոնով (նկ. 4.7):

>>

4.3. ՄԱՐՄՆԻ ԻՆԵՐՑԻԱՅԻ ՄՈՄԵՆՏՆ ԱՆՇԱՐԺ

ԱՌԱՆՑՔԻ ՆԿԱՏՄԱՄԲ

Համընթաց շարժման դեպքում մարմնի իներտության չափը զանգվածն է, իսկ պտտական շարժման դեպքում՝ իներցիայի մոմենտը:

Իներցիայի մոմենտը զանգվածի նման ադիտիվ մեծություն է, այսինքն՝ մեխանիկական համակարգի (նկ.4.8) իներցիայի մոմենտն անշարժ առանցքի նկատմամբ հավասար է համակարգի բոլոր n նյութական կետերի իներցիայի մոմենտների գումարին: Համակարգի իներցիայի մոմենտը հավասար է այդ կետերի  զանգվածների և տվյալ առանցքից դրանց  հեռավորությունների քառակուսիների արտադրյալների գումարին՝

որտե i-րդ կետի ցանգվածն է,  պտտման առանցքից դրա հեռավորությունն է, իսկ դրա իներցիայի մոմենտը առանցքի նկատմամբ:

Հոծ մարմնի դեպքում (նկ.4.9) իներցիայի մոմենտը հաշվելու համար բաժանենք այն անվերջ փոքր dV ծավալների: Հաշվի առնելով, որ OO առանցքից r հեռավորության վրա գտնվող խտությամբ dV ծավալի զանգվածը հավասար է՝  հոծ մարմնի իներցիայի մոմենտը կարելի է հաշվել հետևյալ բանաձևով՝

(4.17) բանաձևը հնարավորություն է տալիս հաշվել մարմնի իներցիայի մոմենտը ցանկացած առանցքի նկատմամբ, եթե հայտնի է առանցքի նկատմամբ մարմնի ներսում նյութի խտության բաշխման օրենքը՝ Ինչպես տեսնում ենք, մամնի իներցիայի մոմենտը կախված է ոչ միայն մարմնի զանգվածից և նրա չափերից, այլև՝ առանցքի նկատմամբ մարմնի ներսում նյութի խտության բաշխումից: Ի տարբերություն զանգվածի, մարմնի իներցիայի մոմենտը չի ենթարկվում պահպանման օրենքին: Մարմնի ձևի և առանցքի նկատմամբ դիրքի փոփոխությունը կարող է փոխել մարմնի իներցիայի մոմենտն այդ առանցքի նկատմամբ:

>>

4.4. ՇՏԱՅՆԵՐԻ ԹԵՈՐԵՄԸ

Տեղադրենք մարմնի C զանգվածի կենտրոնում որևէ XYZ կոորդինատային համակարգի սկիզբը և դրանից որոշ հեռավորության վրա տեղադրենք մի այլ  կոորդինատային համակարգ, որի առանցքներն ուղղված են XYZ համակարգի առանցքներին զուգահեռ այնպես, ինչպես պատկերված է նկ.4.10-ում առանցքներն ուղղահայաց են նկարի հարթությանը):

Ակնհայտ է, որ մարմնի զանգվածի կենտրոնի կոորդինատները հավասար են զրոյի:

Այժմ բաժանելով մարմինը փոքր մասերի` հաշվենք նրա իներցիայի մոմենտը  առանցքի նկատմամբ:

Այսպիսով, եթե հայտնի է m զանգված ունեցող մարմնի C իներցիայի կենտրոնով անցնող  առանցքի նկատմամբ  իներցիայի մոմենտը, ապա այդ առանցքից հեռավորության վրա գտնվող զուգահեռ  առանցքի նկատմամբ (նկ.4.11) մարմնի I իներցիայի մոմենտը`

Շատ դեպքերում իներցիայի մոմենտների հաշվարկը կարելի է պարզեցնել` օգտագործելով համաչափության և նմանության նկատառումները, Շտայների թեորեմը, ինչպես նաև որոշ այլ ընդհանուր առնչություններ, որոնց մասին կխոսվի ստորև:

Դիտարկենք երկու միանման և պտտման առանցքի նկատմամբ նույն կերպ տեղադրված, միևնույն խտությունն ունեցող  և  մարմինները: Այդ մարմինների լրիվ և տարրական զանգվածներն իրար հարաբերում են այնպես, ինչպես դրանց գծային չափերի խորանարդները:

Քանի որ տարրական զանգվածները բազմապատկվում են մինչև պտտման առանցքն ունեցած իրենց հեռավորությունների քառակուսիներով, ապա A և B մարմինների իներցիայի մոմենտները կլինեն համեմատական նույն չափերի հինգերորդ աստիճաններին: Այդպիսով կամ  տակ պետք է հասկանալ մարմնի որևէ բնութագրական չափ կամ պտտման առանցքից նրա որևէ բնութագրական կետի հեռավորություն: Համեմատականության k գործակիցը կախված է միայն մարմնի ձևից և պտտման առանցքի նկատմամբ նրա դասավորությունից:

Բերենք իներցիայի մոմենտի հաշվման օրինակ:

Օգտվելով Շտայների թեորեմից` հաշվենք բարակ համասեռ ձողի իներցիայի մոմենտը նրան ուղղահայաց առանցքի նկատմամբ:

Դիցուք առանցքն անցնում է ձողի A ծայրով (նկ.4.12): Իներցիայի մոմենտի համար կարելի է գրել

որտեղ  ձողի երկարությունն է: Ձողի C կենտրոնը նրա զանգվածների կետրոնն է: Ըստ Շտայների թեորեմի

մեծությունը կարելի է ներկայացնել երկու՝ CA և CB ձողերի իներցիայի մոմենտների գումարի տեսքով: Յուրաքանչյուր ձողի երկարությունը հավասար է զանգվածը՝  հետևաբար, իներցիայի մոմենտը հավասար կլինի

Տեղադրելով այս արտահայտությունները նախորդ բանաձևի մեջ` կստանանք.

Լուծելով ստացած հավասարումը` կստանանք k=1/3: Արդյունքում, ձողի A ծայրով անցնող առանցքի նկատմամբ իներցիայի մոմենտի համար կստանանք.  իսկ զանգվածների C կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ իներցիայի մոմենտը կլինի՝

Վերջում նշենք, որ համասեռ սկավառակի իներցիայի մոմենտը նրա կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ` որտեղ R-ը սկավառակի շառավիղն է, իսկ m-ը` նրա զանգվածը:

R շառավիղ ունեցող համասեռ գնդի իներցիայի մոմենտը նրա կենտրոնով անցնող առանցքի նկատմամբ ՝

>>

4.5. ԻՄՊՈՒԼՍԻ ՄՈՄԵՆՏԻ ՊԱՀՊԱՆՄԱՆ ՕՐԵՆՔԸ

Դիցուք ունենք n թվով նյութական կետերից բաղկացած որևէ մեխանիկական համակարգ:

Եթե համակարգը փակ է, ապա նյութական կետերի վրա ազդում են միայն ներքին ուժեր, բաց համակարգի դեպքում՝ նաև արտաքին ուժեր: Անկախ այնհանգամանքից ուժերը ներքին են, թե արտաքին, դրանք առաջացնում են նյութական կետերի իմպուլսների մոմենտների փոփոխություն: Մեզ նորից հետաքրքրում է ամբողջ համակարգի իմպուլսի մոմենտը՝ փոխվու՞մ է, թե` ոչ: Ամբողջ համակարգի իմպուլսի մոմենտի փոփոխությունը միավոր ժամանակում հավասար է առանձին նյութական կետերի իմպուլսների մոմենտների միավոր ժամանակում փոփոխությունների վեկտորական գումարին.

քանի որ

որտեղ համապատասխան նյութական կետերի վրա ազդող ուժերի մոմենտներն են:

Նորից նկատում ենք, որ վարքը կախված է  գումարից: Եթե համակարգը փակ է, այս դեպքում ուժերը կլինեն ներքին ուժեր, և ըստ Նյուտոնի երրորդ օրենքի ոչ միայն դրանց գումարն է հավասար զրոյի, այլ նաև` դրանց մոմենտների գումարը:

Փակ համակարգի համար՝

Ստացված առնչությունն արտահայտում է իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը՝ ցանկացած փոխազդեցությունների դեպքում փակ համակարգի ներսում գտնվող մարմինների իմպուլսների մոմենտների վեկտորական գումարը մնում է հաստատուն:

Նշենք, որ իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը բնության հիմնարար օրենք է:

Եթե արտաքին ուժերի բացակայության դեպքում իներցիայի մոմենտը փոխվում է, ապա սկսում է փոխվել և  անկյունային արագությունը, այնպես, որ արտադրյալը մնում է հաստատուն: Եթե I իներցիայի մոմենտն աճում է, այդ դեպքում նվազում է  անկյունային արագությունը և հակառակը:

Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը կարելի է ցուցադրել Ժուկովսկու նստարանի օգնությամբ, որը կարող է առանց շփման պտտվել ուղղաձիգ առանցքի շուրջը: Դիցուք նստարանի վրա նստած մարդը պարզած ձեռքերում պահած ծանրոցներով (նկ.4.13) պտտվում է նստարանի հետ միասին  անկյունային արագությամբ: Այդ դեպքում համակարգն ունի  որոշակի իմպուլսի մոմենտ: Եթե մարդը ծանրոցները սեղմի իրեն, համակարգի իներցիայի մոմենտը կփոքրանա: Քանի որ արտաքին ուժերի մոմենտը հավասար է զրոյի, համակարգի իմպուլսի մոմենտը պահպանվում է, և հետևաբար,  անկյունային արագությունը աճում է, այնպես որ

Եթե համակարգը բաց է, ապա գումարը հավասար կլինի արտաքին ուժերի մոմենտների գումարին, որը հավասար չէ զրոյի, այս դեպքում  կփոխվի և

Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքը կարելի է ստանալ` օգտվելով ոչ թե Նյուտոնի երրորդ օրենքից, այլ տարածության իզոտրոպությունից: Ըստ տարածության իզոտրոպության հատկության, եթե մարմինների փակ համակարգը շրջենք փոքր  անկյունով այնպես, որ չփոխվեն մարմինների փոխադարձ դիրքը և արագությունները, ապա դրանց փոխազդեցության պոտենցիալ էներգիան և շարժման կինետիկ էներգիան նույնպես չեն փոխվի, իսկ դա նշանակում է, որ այդպիսի շրջման համար չի պահանջվի արտաքին ուժերի աշխատանք:

Նյութական կետի անվերջ փոքր տեղափոխության ժամանակ (նկ.4.14) նրա հետագծի շոշափողով ուղղված  ուժի dA աշխատանքը՝

Նյութական կետերի համակարգի դեպքում՝  

Այժմ դիտարկենք իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքի կիրառության օրինակ:

Դիցուք նյութական կետը շարժվում է փակ հետագծով (նկ.4.15): Ներմուծենք սեկտորիալ արագության գաղափարը: Հետագծի վրա նյութա կան կետի (մասնիկի) դիրքը որոշվում է  շառավիղ-վեկտորով: Ենթադրենք` մասնիկը dt ժամանակամիջոցում A կետից տեղափոխվում է B կետը, կրելով  տեղափոխություն:

Ներմուծենք մակերեսի  քվազիվեկտորի հասկացությունը, որը թվապես հավասար է շառավիղ-վեկտորի գծած եռանկյան մակերեսին և ուղղահայաց է նրան.

Այդ վեկտորի ածանցյալն ըստ ժամանակի՝  կոչվում է սեկտորիալ արագություն և թվապես հավասար է միավոր ժամանակում շառավիղ-վեկտորի գծած մակերեսին՝

որտեղ m-ը մասնիկի զանգվածն է,  իմպուլսի մոմենտը: Այս դեպքում ենթադրում ենք, որ շառավղային ուղղությամբ  չի փոփոխվում: Եթե m զանգվածով մասնիկը շարժվում է կենտրոնական (կուլոնյան, գրավիտացիոն) ուժերի ազդեցության տակ, ապա ակնհայտ է, որ այդ ուժերի մոմենտները հավասար են զրոյի՝  Օգտվելով Նյուտոնի երկրորդ օրենքից` պտտական շարժման համար՝

Այսպիսով, կենտրոնական ուժային դաշտում շարժվող մարմնի իմպուլսի մոմենտը և նրա շառավիղ-վեկտորի սեկտորիալ արագությունը մնում են հաստատուն:

Հայտնի է, որ մոլորակներն Արեգակի շուրջը շարժվում են փակ կորերով՝ էլիպսներով (նկ.4.16):

Քանի որ Արեգակի և մոլորակների փոխազդեցության ուժերը կենտրոնական են, ապա

Հետևաբար՝  այսինքն՝ հետագծով մոլորակի շարժման ժամանակ ինչքան փոքրանում է նրա դիրքի շառավիղ-վեկտորը, այնքան մեծանում է նրա շարժման արագությունը:

>>

4.6. ՊԻՆԴ ՄԱՐՄՆԻ ՊՏՏԱԿԱՆ ՇԱՐԺՄԱՆ ԿԻՆԵՏԻԿ ԷՆԵՐԳԻԱՆ

Դիտարկենք  անկյունային արագությամբ անշարժ առանցքի շուրջը պտտվող մարմինը (նկ.4.17):

Նրա i-րդ տարրի կինետիկ էներգիան կլինի՝

որտեղ  տարրի զանգվածն է նրա գծային արագությունը: Քանի որ  ապա

Ամբողջ մարմնի կինետիկ էներգիան բաղկացած է այդ մարմնի առանձին մասերի կինետիկ էներգիաներից, այսինքն՝

Այս առնչության աջ մասի գումարը մարմնի իներցիայի մոմենտն է պտտման առանցքի նկատմամբ: Այսպիսով, անշարժ առանցքի շուրջը պտտվող մարմնի կինետիկ էներգիան՝

Ստացված արտահայտությունը համանման է համընթաց շարժվող մարմնի կինետիկ էներգիայի համար ստացված  արտահայտությանը: Պտտական շարժման ժամանակ զանգվածի դերում հանդես է գալիս իներցիայի մոմենտը, իսկ գծային արագության դերում՝ անկյունային արագությունը:

Ընդհանուր դեպքում պինդ մարմնի շարժումը կարելի է պատկերացնել որպես երկու շարժումների վերադրում, մարմնի իներցիայի (զանգվածի) կենտրոնի արագությամբ համընթաց և զանգվածի կենտրոնով անցնող առանցքի շուրջ անկյունային արագությամբ պտտական շարժումների: Այդպիսի պատկերացման համաձայն մարմնի լրիվ կինետիկ էներգիան կարող է որոշել Քյոնիգի թեորեմի հիման վրա՝

որտեղ  մարմնի իներցիայի մոմենտն է նրա զանգվածի կենտրոնով անցնող ակնթարթային պտտման առանցքի նկատմամբ: Նշենք, որ ընդհանուր դեպքում ակնթարթային առանցքը տեղափոխվում է մարմնի նկատմամբ, և  իներցիայի մոմենտը փոխվում է ժամանակի ընթացքում: Մասնավոր դեպքում, երբ մարմինը կատարում է հարթ շարժում,  մնում է հաստատուն: Այսպիսով հարթ շարժման դեպքում մարմնի T_կ լրիվ կինետիկ էներգիան հավասար է T_համ. համընթաց և T_պտ. պտտական շարժումների կինետիկ էներգիաների գումարին՝ T_կ= T_համ.+ T_պտ. :

Խնդիր 1:  զանգվածով և R շառավղով համասեռ գլանը կարող է առանց շփման պտտվել O կետով անցնող հորիզոնական անշարժ առանցքի շուրջը: Գլանի վրա միաշարք փաթաթված է l երկարությամբ և m զանգվածով չձգվող ճկուն բարակ պարան (նկ.1):

Որոշել գլանի անկյունային արագացման կախումը պարանի կախված մասի x երկարությունից: Ընդունել, որ սահքը բացակայում է, և պարանի փաթաթված մասի ծանրության կենտրոնը գտնվում է գլանի առանցքի վրա:

Լուծում: Օգտվենք մոմենտների հավասարումից O կետով անցնող առանցքի նկատմամբ.

Նույն առանցքի նկատմամբ իմպուլսի մոմենտը` քանի որ համասեռ գլանի համար

Ծանրության ուժի մոմենտն առանցքի նկատմամբ

Դիֆերենցելով (2)-ն ըստ ժամանակի կստանանք`

Նկատի ունենալով (3)-ը և (4) - ը` (1)-ից կստանանք.

Խնդիր 2:  զանգվածով հորիզոնական հարթակը պտտվում է իր կենտրոնով անցնող ուղղաձիգ առանցքի շուրջը, կատարելով 0,2պտ/վ: Հարթակի եզրին կանգնած է 60 կգ զանգված ունեցող մարդը: Ի՞նչ արագությամբ կսկսի պտտվել հարթակը, եթե մարդը հարթակի եզրից տեղափոխվի դեպի նրա կենտրոնը: Հարթակը համարել կլոր համասեռ սկավառակ, իսկ մարդուն` նյութական կետ:

Լուծում: Իմպուլսի մոմենտի պահպանման օրենքի հիման վրա ունենք`

որտեղ  հարթակի իներցիայի մոմենտն է մարդու հետ, երբ վերջինս կանգնած է հարթակի եզրում, հարթակի անկյունային արագություններն են համապատասխանաբար մարդու առաջին և երկրորդ դիրքերում: Այդ դեպքում`

որտեղ R-ը հարթակի շառավիղն է,  հարթակի զանգվածն է  մարդու զանգվածը: Տեղադրելով (2)-ը և (3)-ը (1)-ի մեջ և հաշվի առնելով, որ որտեղ  հարթակի պտույտների թիվն է մեկ վայրկյանում, կստանանք`

Խնդիր 3: Երկու թափանիվների հոլովակները միացված են փոկով: Հոլովակների շառավիղները հապատասխանաբար  են: Թափանիվների իներցիայի մոմենտներն իրենց կենտրոնով անցնող առանցքների նկատմամբ համապատասխանաբար I₁ և I₂ են (նկ.2):

Պահելով երկրորդ թափանիվը և փոկն անշարժ` առաջինը պտտեցվում է մինչև  անկյունային արագությունը, որի հետևանքով փոկանվի եզրակետերի և փոկի միջև առաջանում է սահք: Այնուհետև փոկն ու երկրորդ թափանիվը բաց են թողնվում: Անտեսելով բոլոր շփման ուժերը, բացի փոկի և փոկանիվների միջև սահքի շփումից, որոշել թափանիվների կայունացված պտտման  անկյունային արագությունները սահքը դադարելուց հետո: Գտնել նաև կինետիկ էներգիայի կորուստը սահքի շփման վրա: Փոկի զանգվածն անտեսել:

Լուծում: Շնորհիվ սահքի շփման, փոկի F₁ լարվածությունը վերևում և F₂ լարվածությունը ներքևում կլինեն տարբեր: Գրելով թափանիվների շարժման հավասարումները կստանանք`

Գրված հավասարումները բաժանելով համապատասխանաբար R₁ և R₂-ի, այնուհետև գումարելով իրար` կստանանք.

Ինտեգրելով (1)-ը կստանանք`

const-ի արժեքը կգտնենք, ընդունելով, որ սկզբնական պահին  (2)-ից կստանանք. Այսպիսով,

Երբ սահքը բացակայում է,

որտեղից

Նկատի ունենալով (5)-ը` (4)-ից ստանում ենք.

Շփման վրա կինետիկ էներգիայի կորուստը`

Նկատի ունենալով (5)-ը և (6)-ը` (7)-ից կստանանք`

>>

ԳԼՈՒԽ 5. ՁԳՈՂՈՒԹՅՈՒՆ: ԴԱՇՏԻ ՏԵՍՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԸ

5.1. ԿԵՊԼԵՐԻ ՕՐԵՆՔՆԵՐԸ: ՏԻԵԶԵՐԱԿԱՆ ՁԳՈՂՈՒԹՅԱՆ ՕՐԵՆՔԸ

Դեռ խորն անցյալում հայտնի էր, որ ի տարբերություն աստղերի, որոնք տարածության մեջ իրենց փոխադարձ դիրքը պահպանում են հարյուրամյակների ընթացքում անփոփոխ, մոլորակները աստղերի միջև գծում են բարդ հետագծեր: Մոլորակների օղակաձև շարժումը նկարագրելու համար հույն գիտնական Կ. Պտղոմեոսը (մ.թ.2-րդ դար), հաշվի առնելով, որ Երկիրը տեղավորված է Տիեզերքի կենտրոնում, ենթադրեց, որ մոլորակներից յուրաքանչյուրը շարժվում է փոքր շրջանով, որի կենտրոնը հավասարաչափ շարժվում է մեծ շրջանով, իսկ այդ կենտրոնում գտնվում է Երկիրը: Այդ կոնցեպցիան ստացավ աշխարհի պտղոմեոսյան երկրակենտրոն համակարգ անվանումը:

16-րդ դարի սկզբում լեհ աստղագետ Ն. Կոպեռնիկոսի (1473-1543) կողմից հիմնավորվեց արևակենտրոն համակարգը, որի համաձայն երկնային մարմինների շարժումը բացատրվում է Երկրի (ինչպես նաև այլ մոլորակների) շարժումով Արեգակի շուրջը և Երկրի օրական պտույտով: Կոպեռնիկոսի տեսությունը և դիտումները ընդունվեցին որպես հետաքրքրաշարժ երևակայություն (ֆանտազիա): 17-րդ հարյուրամյակի սկզբին մեծաթիվ գիտնականներ համոզվեցին աշխարհի արևակենտրոն համակարգի ճիշտ լինելու մեջ: Գերմանացի գիտնական Ի. Կեպլերը (1571-1630), մշակելով և ճշգրտելով դանիացի աստղագետ Տ. Բրագեի (1546-1601) բազմաթիվ դիտումների արդյունքները, տվեց մոլորակների շարժման երեք օրենքները.

1. Բոլոր մոլորակները շարժվում են էլիպսներով, որոնց կիզակետերից մեկում գտնվում է Արեգակը:

2. Մոլորակի շառավիղ-վեկտորը հավասար ժամանակամիջոցներում հավասար մակերեսներ է գծում:

3. Արեգակի շուրջը մոլորակների պտտման պարբերությունների քառակուսիները հարաբերում են իրար այնպես, ինչպես դրանց ուղեծրերի մեծ կիսառանցքների խորանարդները:

Ի. Նյուտոնը, ուսումնասիրելով երկնային մարմինների շարժումը Կեպլերի օրենքների և դինամիկայի հիմնական օրենքների հիման վրա հայտնագործեց տիեզերական ձգողության օրենքը. ցանկացած երկու նյութական կետերի միջև գործում է փոխադարձ ձգողության ուժ, որն ուղիղ համեմատական է այդ կետերի զանգվածների արտադրյալին և հակադարձ համեմատական է դրանց միջև եղած r հեռավորության քառակուսուն.

Այդ ուժը կոչվում է գրավիտացիոն (կամ տիեզերական ձգողության ուժ): Գրավիտացիոն ուժերը միշտ ձգողական են և ուղղված են այն ուղղի երկայնքով, որն անցնում է փոխազդող մարմիններով: Համեմատականության G գործակիցը կոչվում է գրավիտացիոն հաստատուն:

Տիեզերական ձգողության օրենքը ճիշտ է միայն այն մարմինների համար, որոնք կարելի է ընդունել որպես նյութական կետեր, այսինքն որոնց չափերը շատ փոքր են` դրանց միջև եղած հեռավորության համեմատ: Վերջավոր չափեր ունեցող մարմինների միջև փոխազդեցության ուժը գտնելու համար մարմիններից յուրաքանչյուրը պետք է բաժանել տարրական զանգվածների, որպեսզի դրանք կարելի լինի համարել նյութական կետեր, այնուհետև գտնել տարբեր մարմիններին պատկանող նյութական կետերի յուրաքանչյուր զույգի փոխազդեցության ուժը և երկրաչափորեն գումարել, որը բավականին դժվար մաթեմատիկական խնդիր է:

Առաջին անգամ տիեզերական օրենքի փորձնական ապացույցը երկրային մարմինների, ինչպես նաև G գրավիտացիոն հաստատունի թվային արժեքը որոշելու համար կատարվել է անգլիացի ֆիզիկոս Գ. Կավենդիշի (1731-1810) կողմից:

Կավենդիշի փորձի սկզբունքային սխեման բերված է նկ.5.1-ում, օգտագործելով ոլորակշեռքի խիստ զգայուն մեթոդը: Թեթև A կշռալծակը երկու հավասար m=729գ զանգվածներով միատեսակ գնդիկների հետ միասին կախված է առաձգական B թելից: C կշռալծակի վրա նույն բարձրության վրա ամրացված են M=158կգ զանգվածներով երկու գնդեր: Պտտելով C կշռալծակը ուղղաձիգ առանցքի շուրջը կարելի է փոփոխել m և M զանգվածներով գնդերի միջև հեռավորությունը: M զանգվածներով գնդիկների կողմից m զանգվածներով գնդիկներին կիրառված ուժազույգի ազդեցության տակ, A կշռալծակը պտտվում է հորիզոնական հարթության մեջ, պտտելով B թելը մինչև առաձգական ուժի մոմենտի` ձգողական ուժի մոմենտին հավասարակշռելը: Իմանալով թելի առաձգականության հատկությունները, կարելի է ըստ պտույտի անկյան չափման գտնել առաջացած ձգողական ուժը և գնդիկների հայտնի զանգվածներով հաշվել G-ի արժեքը:

G-ի արժեքը հիմնարար ֆիզիկական հաստատուն է, ընդունվում է հավասար  Այսպիսով, 1կգ զանգված ունեցող երկու գնդերը, որոնց կենտրոններն իրարից հեռացած են 1մ-ով, փոխադարձաբար ձգում են  ուժով: G մեծության շատ փոքր լինելը ցույց է տալիս, որ գրավիտացիոն փոխազդեցության ուժը կարող է լինել նշանակալից միայն մեծ զանգվածների դեպքում:

>>

5.2. ԾԱՆՐՈՒԹՅԱՆ ՈՒԺ ԵՎ ԿՇԻՌ: ԱՆԿՇՌՈՒԹՅՈՒՆ

Երկրի մակերևույթի մոտ բոլոր մարմինները ընկնում են նույն արագացումով, որը ստացել է ազատ անկման  արագացում անվանումը: Այսպիսով, Երկրի հետ կապված հաշվարկման համակարգում ամեն մի m զանգվածով մարմնի վրա ազդում է  ուժը, որն անվանում են ծանրության ուժ: Համաձայն Գալիլեյի ընդհանրացած հիմնարար ֆիզիկական օրենքի, բոլոր մարմինները միևնույն ձգողության դաշտում ընկնում են նույն արագացումներով: Հետևաբար, եկրագնդի տվյալ վայրում ազատ անկման արագացումը նույնն է բոլոր մարմինների համար:

Փորձերը ցույց են տալիս, որ Երկրի մակերևույթին չափված ազատ անկման արագացումը բևեռներում մոտավորապես հավասար է 9.832մ/վ², հասարակածում 9.780մ/վ², իսկ 45⁰ լայնության վրա` 9.81մ/վ²: Սա պայմանավորված է մի կողմից իր առանցքի շուրջը Երկրի օրական պտույտի և Երկրի ոչ լրիվ գնդաձև լինելու հանգամանքով (հասարակածային և բևեռային շառավիղները համապատասխանաբար հավասար են 6378 և 6357կմ): Բերված թվերը ցույց են տալիս, որ ազատ անկման արագացման արժեքները երկրագնդի տարբեր շրջաններում շատ քիչ են տարբերվում իրարից, ուստի ազատ անկման արագացումը, որն օգտագործվում է գործնական խնդիրների լուծման դեպքում, ընդունվում է հավասար 9.81մ/վ²:

Եթե անտեսվի իր առանցքի շուրջը Երկրի օրական պտույտը, ապա ծանրության ուժը և գրավիտացիոն ձգողության ուժը իրար հավասար են.

որտեղ M-ը Երկրի զանգվածն է, R-ը Երկրի կենտրոնից մինչև մարմին ընկած հեռավորությունն է: Այս բանաձևը տրված է այն դեպքի համար, երբ մարմինը գտնվում է Երկրի մակերևույթի վրա:

Եթե մարմինը գտնվում է Երկրի մակերևույթից h բարձրության վրա, ապա

այսինքն` Երկրի մակերևույթից հեռանալով` ծանրության ուժը փոքրանում է: R₀-ն Երկրի շառավիղն է:

Մարմնի կշիռ կոչվում է այն ուժը, որով մարմինը Երկրի գրավիտացիոն ձգողության հետևանքով ազդում է հորիզոնական հենարանի կամ ուղղաձիգ կախոցի վրա: Մարմնի կշիռը հանդես է գալիս միայն այն ժամանակ, երբ մարմինը շարժվում է g-ից տարբեր արագացումով, այսինքն, երբ մարմնի վրա, բացի ծանրության ուժից, ազդում են նաև այլ ուժեր: Մարմնի վիճակը, որի դեպքում այն շարժվում է միայն ծանրության ուժի ազդեցության տակ, կոչվում է անկշռելության վիճակ:

Այսպիսով, ծանրության ուժը միշտ ազդում է, իսկ կշիռը հանդես է գալիս միայն այն դեպքում, երբ մարմնի վրա, բացի ծանրության ուժից, ազդում են նաև այլ ուժեր, որի հետևանքով մարմինը շարժվում է  տարբեր  արագացումով: Եթե մարմինը շարժվում է Երկրի ձգողության դաշտում  արագացումով, ապա այդ մարմնին կիրառված է լրացուցիչ  ուժ, որը բավարարում է հետևյալ պայմանին`

Այդ դեպքում մարմնի կշիռը`

Այսինքն, եթե մարմինը գտնվում է դադարի վիճակում կամ շարժվում է ուղղագիծ և հավասարաչափ, ապա  Եթե մարմինը ազատ շարժվում է ձգողության դաշտում ցանկացած հետագծով և ցանկացած ուղղությամբ, ապա  այսինքն` մարմինը անկշիռ է: Անկշռության վիճակ դիտվում է տիեզերանավում, երբ այն շարժվում է ազատ անկման արագացմամբ, անկախ նրա շարժման ուղղությունից: Երկրի մթնոլորտից դուրս անջատված շարժիչով տիեզերանավի վրա ազդում է միայն գրավիտացիոն ձգողության ուժը: Այդ ուժի ազդեցությամբ տիեզերանավը և նրանում գտնվող բոլոր մարմինները շարժվում են նույն արագացմամբ, ուստի գտնվում են անկշության վիճակում:

>>

5.3. ՁԳՈՂԱԿԱՆ ԴԱՇՏ ԵՎ ՆՐԱ ԼԱՐՎԱԾՈՒԹՅՈՒՆԸ

Նյուտոնի (5.1) տիեզերական ձգողության օրենքով որոշվում է ձգողության ուժի կախումը փոխազդող մարմինների զանգվածներից և դրանց միջև հեռավորությունից, սակայն ցույց չի տալիս, թե ինչպես է իրականացվում այդ փոխազդեցությունը: Ձգողությունը պատկանում է փոխազդեցության հատուկ խմբի: Ձգողության ուժերը կախված չեն այն բանից, թե փոխազդող մարմինները ինչպիսի միջավայրում են գտնվում: Ձգողությունը գոյություն ունի և վակուումում:

Մարմինների միջև գրավիտացիոն փոխազդեցությունը իրականացվում է ձգողության դաշտի կամ գրավիտացիոն դաշտի օգնությամբ: Այդ դաշտը հարուցվում է մարմիններով, և այն մատերիայի գոյության ձևերից մեկն է: Ձգողական դաշտի հիմնական հատկությունն այն է, որ ամեն մի m զանգվածով մարմնի վրա, որը գտնվում է այդ դաշտում, ազդում է ձգողության ուժը, այսինքն`

 վեկտորը կախում չունի m-ից և կոչվում է ձգողության դաշտի լարվածություն: Ձգողության դաշտի լարվածությունը որոշվում է այն ուժով, որն ազդում է դաշտի կողմից միավոր զանգնվածով նյութական կետի վրա և ուղղությամբ համընկնում է ազդող ուժի հետ: Լարվածութունը ձգողական դաշտի ուժային բնութագիրն է:

Եթե դաշտը ստեղծվել է մի քանի աղբյուրներով, ապա դաշտի արդյունարար լարվածությունը նրա ցանկացած կետում որոշվում է դաշտերի վերադրման սկզբունքով`

Ձգողության դաշտը կոչվում է համասեռ, եթե նրա լարվածությունը դաշտի բոլոր կետերում նույնն է, և կենտրոնական, եթե դաշտի բոլոր կետերում լարվածության վեկտորներն ուղղված են այն ուղիղների երկայնքով, որոնք հատվում են միևնույն A կետում, որն անշարժ է ինչ-որ իներցիալ հաշվարկման համակարգի նկատմամբ (նկ.5.2):

Ուժային դաշտի գրաֆիկական պատկերման համար օգտագործում են ուժագծերը (լարվածության գծերը): Ուժագծերն ընտրվում են այնպես, որ դաշտի լարվածության վեկտորը յուրաքանչյուր կետում ուղղված լինի ուժագծերին տարված շոշափողով:

>>

5.4. ԱՇԽԱՏԱՆՔԸ ՁԳՈՂՈՒԹՅԱՆ ԴԱՇՏՈՒՄ: ՁԳՈՂՈՒԹՅԱՆ

ԴԱՇՏԻ ՊՈՏԵՆՑԻԱԼԸ

Որոշենք այն աշխատանքը, որը կատարում են ձգողական դաշտի ուժերը m զանգվածով նյութական կետի տեղափոխման վրա: Հաշվենք, օրինակ, ինչպիսի աշխատանք է անհրաժեշտ կատարել m զանգվածով մարմինը Երկրից հեռացնելու համար: R հեռավորության վրա (նկ.5.3) տվյալ մարմնի վրա ազդում է`  ուժը, որտեղ M-ը Երկրի զանգվածն է:

Այդ մարմնի տեղափոխության դեպքում dR հեռավորության վրա կատարվում է հետևյալ աշխատանքը`

Բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ ուժը և տեղափոխությունը տվյալ դեպքում ուղղություններով հակառակ են (տես նկ. 5.3):

Եթե մարմինը տեղափոխվի R₁ հեռավորությունից մինչև R₂, ապա աշխատանքը`

Ստացված արտահայտությունից բխում է, որ ձգողության դաշտում աշխատանքը կախում չունի տեղափոխության հետագծից. այն կախված է մարմնի սկզբնական և վերջնական դիրքից, այսինքն` ձգողության ուժերը կոնսերվատիվ ուժեր են, իսկ ձգողական դաշտը` պոտենցիալային է:

Համաձայն dA=-dW բանաձևի` կոնսերվատիվ ուժերով կատարված աշխատանքը հավասար է համակարգի պոտենցիալ էներգիայի փոփոխությանը` վերցրած «-» նշանով, այսինքն`

բանաձևից ստանում ենք`

Քանի որ բանաձևի մեջ մտնում է միայն պոտենցիալների տարբերությունը երկու վիճակներում, ապա  ձգտելու դեպքում, հարմարության համար պոտենցիալ էներգիան ընդունում են հավասար զրոյի: Այդ դեպքում (5.6) արտահայտությունը կգրվի հետևյալ տեսքով.

Քանի որ առաջին կետը ընտրվել էր կամայական, ապա

մեծությունը ձգողական դաշտի էներգետիկ բնութագիրն է և կոչվում է պոտենցիալ: Ձգողական դաշտի պոտենցիալը սկալյար մեծություն է, որոշվում է դաշտի տվյալ կետում միավոր զանգվածով մարմնի պոտենցիալ էներգիայով կամ այն աշխատանքով, որը կատարում են դաշտի ուժերը միավոր զանգվածը դաշտի տվյալ կետից մինչև անվերջություն տեղափոխելու համար: Այսպիսով, ձգողական դաշտի պոտենցիալը, որը ստեղծում է M զանգվածով մարմինը`

որտեղ R-ը այդ մարմնից մինչև դիտարկվող կետը եղած հեռավորությունն է:

 (5.8) բանաձևից հետևում է, որ միևնույն պոտենցիալով կետերի երկրաչափական տեղը կազմում է սֆերիկ մակերևույթ (R=const): Այն մակերևույթը, որի համար պոտենցիալը հաստատուն է, կոչվում է համապոտենցիալ:

Քանի որ դաշտի պոտենցիալը սկալյար մեծություն է, ապա արդյունարար պոտենցիալի արժեքը որոշվում է պարզ գումարումով`

Քննարկենք փոխադարձ կապը ձգողական դաշտի պոտենցիալի և նրա g լարվածության միջև: (5.3) և (5.6) արտահայտություններից հետևում է, որ դաշտի ուժերով m զանգածով մարմնի փոքր տեղափոխության դեպքում կատարված տարրական dA աշխատանքը`

Մյուս կողմից dA=Fdl, որտեղ dl-ը տարրական տեղափոխությունն է: Հաշվի առնելով, որ F=mg կստանանք dA=mgdl, այսինքն`

մեծությունը բնութագրում է ձգողության դաշտում տեղափոխության ուղղությամբ պոտենցիալի փոփոխությունը միավոր երկարության վրա: Կարելի է ապացուցել, որ

(5.10) բանաձևի մեջ բացասական նշանը ցույց է տալիս, որ  լարվածության վեկտորն ուղղված է պոտենցիալի նվազման կողմը:

Ելնելով ձգողության տեսության պատկերացումներից` որպես մասնավոր օրինակ, քննարկենք մարմնի պոտենցիալ էներգիան, որը գտնվում է Երկրի նկատմամբ h բարձրության վրա.

որտեղ R₀-ն Երկրի շառավիղն է:

Քանի որ

ապա նկատի ունենալով  պայմանը, կստանանք`

Այսպիսով, ստացանք մեզ ծանոթ պոտենցիալ էներգիայի բանաձևը:

>>

5.5 ՏԻԵԶԵՐԱԿԱՆ ԱՐԱԳՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ

Տիեզերական տարածության մեջ հրթիռներ արձակելու համար, նպատակադրվածությունից կախված, հարկավոր է դրանց հաղորդել որոշակի սկզբնական արագություններ, որոնք կոչվում են տիեզերական արագություններ:

Առաջին տիեզերական արագություն է կոչվում այն նվազագույն արագությունը, որն անհրաժեշտ է հաղորդել մարմնին, որպեսզի այն շարժվի Երկրի շուրջը շրջանային ուղեծրով, այսինքն` դառնա Երկրի արհեստական արբանյակ: r շառավիղ ունեցող շրջանային ուղեծրով շարժվող արբանյակի վրա ազդում է Երկրի ձգողության ուժը` հաղորդելով նրան  կենտրոնաձիգ արագացում: Ըստ Նյուտոնի օրենքի`

Եթե արբանյակը շարժվում է Երկրի մակերևույթին մոտ, ապա  ուստի Երկրի մակերևույթին մոտ`

Սակայն  արագությունը բավարար չէ Երկրագնդի ձգողության դաշտից մարմինը դուրս բերելու համար, այսինքն` մարմինը Երկրագնդից այնպիսի հեռավորության վրա տանելու համար, որտեղ Երկրագնդի ձգողությունը դադարում է էական դեր խաղալ: Այս իրագործելու համար անհրաժեշտ արագությունը կոչվում է երկրորդ տիեզերական արագություն: Այս արագության դեպքում մարմինը դառնում է Արեգակի արբանյակ:

Որպեսզի մարմինը կարողանա հաղթահարել Երկրագնդի ձգողությունը և հեռանա տիեզերական տարածություն, անհրաժեշտ է, որ նրա կինետիկ էներգիան հավասար դառնա ձգողության ուժերի դեմ կատարված աշխատանքին.

Տիեզերական երրորդ արագություն կոչվում է այն արագությունը, որն անհրաժեշտ է հաղորդել Երկրի վրա մարմնին, որպեսզի այն հեռանա Արեգակնային համակարգի սահմաններից` հաղթահարելով Արեգակի ձգողությունը: Երրորդ տիեզերական արագությունը`  Մարմիններին այսպիսի արագությունների հաղորդումը դժվար տեխնիկական խնդիր է:

Առաջին անգամ տիեզերական արագություններ ստացել են ԽՍՀՄ-ում: 1957թ. հոկտեմբերի 4-ին մարդկության պատմության մեջ առաջին անգամ իրագործվեց Երկրագնդի արհեստական արբանյակի հաջող իրագործումը: 1959թ. հունվարի 2-ին հաղթահարվեց երկրորդ սահմանը: Այդ օրը արձակվեց տիեզերական հրթիռ, որը դուրս եկավ Երկրագնդի ձգողության դաշտից և դարձավ Արեգակնային համակարգի առաջին արհեստական մոլորակը: 1961թ. ապրիլի 12-ին ԽՍՀՄ-ում իրագործվեց աշխարհում առաջին անգամ մարդու թռիչքը տիեզերական տարածության մեջ: Առաջին տիեզերագնացը` Յ.Գագարինը, թռիչք կատարեց Երկրագնդի շուրջը և բարեհաջող վայրէջք կատարեց:

>>

ԳԼՈՒԽ 6. ՀԵՂՈՒԿՆԵՐԻ ՄԵԽԱՆԻԿԱՅԻ ՏԱՐՐԵՐԸ

6.1. ՀԵՂՈՒԿԻ ԵՎ ԳԱԶԻ ՃՆՇՈՒՄԸ

Գազի մոլեկուլները, կատարելով անկանոն քաոսային շարժում, կապված չեն կամ թույլ են կապված փոխազդեցության ուժերով, որի պատճառով դրանք ազատ շարժվում են և բախման արդյունքում ձգտում են թռչել ամեն կողմ, լցնելով իրենց տրամադրված ամբողջ ծավալը. այսինքն` գազի ծավալը որոշվում է այն անոթի ծավալով, որը զբաղեցնում է գազը:

Հեղուկը, ունենալով որոշակի ծավալ, ընդունում է այն անոթի ձևը, որի մեջ այն գտնվում է: Բայց ի տարբերություն գազերի` հեղուկներում մոլեկուլների միջին հեռավորությունը գործնականում մնում է հաստատուն, ուստի հեղուկի ծավալը գործնականում անփոփոխ է:

Հեղուկների և գազերի հատկություններն իրարից բավականին տարբերվում են, սակայն մի շարք մեխանիկական երևույթներում դրա